Informatyka
Tabela prawdy wyrażenia logicznego
Wpisz wyrażenie w notacji, którą wolisz — AND/OR/NOT, symbole · + ', albo && || ! — i otrzymaj pełną tabelę prawdy.
Jak czytać tabelę prawdy
Tabela prawdy wypisuje wszystkie możliwe kombinacje wejść i wartość, jaką wyrażenie przyjmuje dla każdej z nich. Przy n zmiennych wierszy jest 2ⁿ: dwie zmienne dają cztery, trzy osiem, cztery szesnaście. Przyjęta kolejność to kolejność licznika binarnego, w której pierwsza zmienna zmienia się najwolniej, i służy temu, by żadna kombinacja nie została pominięta.
Trzy podstawowe operatory sprowadzają się do trzech zdań. AND jest prawdziwy tylko wtedy, gdy oba wejścia są prawdziwe, OR jest fałszywy tylko wtedy, gdy oba są fałszywe, NOT odwraca. XOR, rzadszy w pierwszych zadaniach, a kluczowy w układach arytmetycznych, jest prawdziwy, gdy wejścia się różnią: to dodawanie binarne bez przeniesienia.
Tabela jest też narzędziem do dowodzenia tożsamości. Dwa wyrażenia są równoważne, gdy ich kolumny wyjścia pokrywają się wiersz po wierszu, i właśnie tak sprawdza się prawa De Morgana: negacja AND to OR negacji i odwrotnie. To przekształcenie pozwala zbudować dowolny układ przy użyciu tylko jednego rodzaju bramki.
Częste błędy
- Pomyłka w pierwszeństwie operatorów: NOT wiąże silniej niż AND, a AND silniej niż OR. Bez nawiasów A OR B AND C znaczy A OR (B AND C), a nie (A OR B) AND C.
- Błędne zastosowanie De Morgana przez zanegowanie tylko jednego członu: negacja (A AND B) to (NOT A) OR (NOT B), przy czym zmienia się również operator w środku.
- Pomijanie kombinacji w tabeli: przy trzech zmiennych wierszy jest osiem i wszystkie muszą zostać wypisane, także te pozornie oczywiste. Trzymanie się kolejności binarnej sprawia, że żadna nie ginie.
Najczęstsze pytania
Ile wierszy ma tabela prawdy?
Dwa do potęgi równej liczbie zmiennych: 2ⁿ. Dwie zmienne dają cztery wiersze, trzy osiem, cztery szesnaście. Każdy wiersz to inna kombinacja zer i jedynek.
Jakie jest pierwszeństwo operatorów logicznych?
Najpierw NOT, potem AND, potem XOR, na końcu OR. To ta sama hierarchia co w zwykłej algebrze, jeśli potraktować AND jak iloczyn, a OR jak sumę — dlatego zapisuje się je · i +.
Co mówią prawa De Morgana?
Że negacja koniunkcji jest alternatywą negacji i odwrotnie: NOT(A AND B) = NOT A OR NOT B oraz NOT(A OR B) = NOT A AND NOT B. Sprawdza się je, porównując kolumny wyjścia.
Czym różni się OR od XOR?
OR jest prawdziwy także wtedy, gdy oba wejścia są prawdziwe; XOR nie: jest prawdziwy tylko wtedy, gdy wejścia różnią się od siebie. Dlatego nazywa się go też „alternatywą wykluczającą".
Jak działa to obliczenie
Operatory: NOT A wynosi 1, gdy A wynosi 0. A AND B wynosi 1 tylko przy A = B = 1. A OR B wynosi 0 tylko przy A = B = 0. A XOR B wynosi 1, gdy A ≠ B. Pierwszeństwo, od najsilniejszego: NOT, AND, XOR, OR; nawiasy je zmieniają. Liczba wierszy przy n zmiennych: 2ⁿ. Prawa De Morgana: ¬(A·B) = ¬A + ¬B oraz ¬(A + B) = ¬A · ¬B. Przydatne tożsamości: A + A·B = A (pochłanianie), A·(A + B) = A, A + ¬A = 1 (prawo wyłączonego środka), A·¬A = 0 (prawo sprzeczności). Parser przyjmuje notację słowną, symboliczną (· + ') oraz zapis z języków programowania (&& || !).