Fisica
Calcolatrice di Kirchhoff: resistività, generatore reale e partitori
Scegli la relazione e cancella la grandezza incognita. Qui trovi ciò che la sola legge di Ohm non copre: da cosa dipende la resistenza di un cavo, quanto cala la tensione di una batteria sotto carico e come si ripartiscono tensioni e correnti.
Perché una batteria da 12 volt non dà mai 12 volt
La legge di Ohm lega tre grandezze fra loro, ma non dice da dove venga la resistenza né da dove venga la tensione. La resistenza viene dal materiale e dalla forma: R = ρL/A. È la formula che spiega perché un cavo lungo scalda, perché gli impianti si dimensionano in millimetri quadri e perché raddoppiare il diametro di un conduttore ne riduce la resistenza a un quarto e non alla metà.
La tensione, dal canto suo, viene da un generatore che non è ideale. Ogni sorgente ha una resistenza interna, e la tensione che si misura ai morsetti è ε − I·r: pari alla forza elettromotrice solo a corrente nulla, sempre minore appena il circuito è chiuso. Questo spiega la batteria dell'auto che crolla durante l'avviamento e, in forma più astratta, il fatto che un generatore ceda la massima potenza al carico quando R uguaglia r — con un rendimento, in quel punto, di appena il cinquanta per cento.
Le due leggi di Kirchhoff sono ciò che permette di scrivere le equazioni di una rete qualunque: al nodo la somma delle correnti entranti eguaglia quella delle uscenti, lungo una maglia la somma algebrica delle tensioni è nulla. Non sono principi nuovi — esprimono la conservazione della carica e dell'energia — ma sono la sola procedura sistematica per affrontare un circuito che non si riduca a serie e paralleli. I partitori sono il loro caso particolare più usato.
Errori frequenti
- Scambiare le resistenze nel partitore di corrente: la corrente nel ramo R₁ è proporzionale a R₂, non a R₁. La corrente maggiore passa dove la resistenza è minore, e la formula deve rispecchiarlo.
- Usare il partitore di tensione con un carico collegato all'uscita: la formula vale a vuoto. Appena l'uscita assorbe corrente, R₂ va sostituita dal parallelo fra R₂ e il carico.
- Confondere la forza elettromotrice con la tensione ai morsetti: coincidono solo a circuito aperto. Un esercizio che dà entrambe ti sta implicitamente dando anche la resistenza interna.
- Sbagliare la sezione partendo dal diametro: A = πd²/4, non πd². Un cavo da 1,5 mm² non ha diametro 1,5 mm ma circa 1,4 mm.
Domande frequenti
Quali sono le due leggi di Kirchhoff?
La legge dei nodi: la somma delle correnti entranti in un nodo è uguale alla somma di quelle uscenti, perché la carica non si accumula. La legge delle maglie: percorrendo una maglia chiusa, la somma algebrica delle differenze di potenziale è zero, perché il potenziale è una funzione di stato.
Come si calcola la resistenza di un cavo?
Con R = ρL/A, dove ρ è la resistività del materiale, L la lunghezza e A la sezione. Usando ρ in Ω·mm²/m e A in mm² non servono conversioni: il rame vale circa 0,0168, l'alluminio 0,028, il ferro 0,10.
Che cos'è la resistenza interna di un generatore?
È la resistenza della sorgente stessa, che sta in serie con il circuito esterno. Fa sì che la tensione ai morsetti valga ε − I·r invece di ε, e che parte della potenza generata venga dissipata dentro il generatore anziché sul carico.
Perché la resistenza dei metalli aumenta con la temperatura?
Perché gli ioni del reticolo vibrano di più e gli elettroni di conduzione vengono diffusi più spesso, riducendo il cammino libero medio. La dipendenza è ben approssimata da R = R₀(1 + αΔT), con α positivo per i metalli e negativo per i semiconduttori.
Quando un generatore eroga la massima potenza?
Quando la resistenza di carico eguaglia quella interna, R = r. In quel punto però metà della potenza viene dissipata dentro il generatore, quindi il rendimento è del cinquanta per cento: massima potenza e massimo rendimento sono due obiettivi diversi.
Come funziona questo calcolo
Resistenza di un conduttore: R = ρL/A, con ρ resistività, L lunghezza e A sezione. Dipendenza dalla temperatura: R = R₀(1 + αΔT), approssimazione lineare valida su intervalli moderati. Generatore reale: V = ε − I·r, con ε forza elettromotrice e r resistenza interna; a circuito aperto V = ε. Maglia singola: ε = I(R + r), da cui I = ε/(R + r). Legge dei nodi: ΣI_entranti = ΣI_uscenti. Legge delle maglie: ΣΔV = 0 lungo un percorso chiuso. Partitore di tensione a vuoto: Vᵤ = Vᵢ·R₂/(R₁ + R₂). Partitore di corrente: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂), pesato dalla resistenza dell'altro ramo. Potenza dissipata: P = I²R; rendimento del generatore: η = V/ε.