Fizyka
Kalkulator Kirchhoffa: rezystywność, rzeczywiste źródło i dzielniki
Wybierz zależność i wyczyść szukaną wielkość. Znajdziesz tu to, czego samo prawo Ohma nie obejmuje: od czego zależy rezystancja kabla, o ile spada napięcie baterii pod obciążeniem i jak rozkładają się napięcia oraz prądy.
Dlaczego bateria 12-woltowa nigdy nie daje 12 woltów
Prawo Ohma wiąże ze sobą trzy wielkości, ale nie mówi, skąd bierze się rezystancja ani skąd napięcie. Rezystancja bierze się z materiału i kształtu: R = ρL/A. To wzór, który tłumaczy, dlaczego długi kabel się grzeje, dlaczego instalacje wymiaruje się w milimetrach kwadratowych i dlaczego podwojenie średnicy przewodu zmniejsza jego rezystancję czterokrotnie, a nie dwukrotnie.
Napięcie z kolei pochodzi ze źródła, które nie jest idealne. Każde źródło ma rezystancję wewnętrzną, a napięcie mierzone na zaciskach wynosi ε − I·r: równe sile elektromotorycznej tylko przy zerowym prądzie, zawsze mniejsze, gdy tylko obwód się zamknie. Stąd akumulator samochodowy zapadający się przy rozruchu i, bardziej abstrakcyjnie, fakt, że źródło oddaje największą moc, gdy R równa się r — przy sprawności w tym punkcie zaledwie pięćdziesięcioprocentowej.
Dwa prawa Kirchhoffa pozwalają zapisać równania dowolnej sieci: w węźle prądy dopływające równoważą odpływające, a wzdłuż oczka napięcia sumują się algebraicznie do zera. Nie są to nowe zasady — wyrażają zachowanie ładunku i energii — ale stanowią jedyną systematyczną drogę przez obwód, który nie sprowadza się do połączeń szeregowych i równoległych. Dzielniki są ich najczęściej używanym przypadkiem szczególnym.
Częste błędy
- Zamiana rezystancji w dzielniku prądu: prąd przez R₁ jest proporcjonalny do R₂, a nie do R₁. Większy prąd płynie tam, gdzie rezystancja jest mniejsza, i wzór musi to odzwierciedlać.
- Użycie dzielnika napięcia z obciążeniem na wyjściu: wzór obowiązuje bez obciążenia. Gdy tylko wyjście pobiera prąd, R₂ trzeba zastąpić połączeniem równoległym R₂ i obciążenia.
- Mylenie siły elektromotorycznej z napięciem na zaciskach: zgadzają się tylko przy otwartym obwodzie. Zadanie podające obie wartości podaje pośrednio także rezystancję wewnętrzną.
- Błąd w przekroju liczonym ze średnicy: A = πd²/4, a nie πd². Kabel 1,5 mm² nie ma średnicy 1,5 mm, lecz około 1,4 mm.
Często zadawane pytania
Jak brzmią dwa prawa Kirchhoffa?
Prawo węzłów: suma prądów wpływających do węzła równa się sumie wypływających, ponieważ ładunek się tam nie gromadzi. Prawo oczek: po obejściu zamkniętego oczka algebraiczna suma różnic potencjałów wynosi zero, bo potencjał jest funkcją stanu.
Jak obliczyć rezystancję kabla?
Ze wzoru R = ρL/A, gdzie ρ to rezystywność materiału, L długość, a A przekrój. Przy ρ w Ω·mm²/m i A w mm² przeliczenia są zbędne: miedź to około 0,0168, aluminium 0,028, żelazo 0,10.
Czym jest rezystancja wewnętrzna źródła?
To rezystancja samego źródła, włączona szeregowo z obwodem zewnętrznym. Sprawia, że napięcie na zaciskach wynosi ε − I·r zamiast ε, a część wytworzonej mocy wydziela się wewnątrz źródła zamiast na obciążeniu.
Dlaczego rezystancja metali rośnie z temperaturą?
Ponieważ jony sieci drgają silniej i częściej rozpraszają elektrony przewodnictwa, skracając śrVednią drogę swobodną. Zależność dobrze przybliża R = R₀(1 + αΔT), z α dodatnim dla metali i ujemnym dla półprzewodników.
Kiedy źródło oddaje największą moc?
Gdy rezystancja obciążenia równa się rezystancji wewnętrznej, R = r. W tym punkcie jednak połowa mocy wydziela się wewnątrz źródła, więc sprawność wynosi pięćdziesiąt procent: maksymalna moc i maksymalna sprawność to dwa różne cele.
Jak działa to obliczenie
Rezystancja przewodnika: R = ρL/A, gdzie ρ to rezystywność, L długość, a A przekrój. Zależność od temperatury: R = R₀(1 + αΔT), przybliżenie liniowe dobre w umiarkowanych zakresach. Rzeczywiste źródło: U = ε − I·r, gdzie ε to siła elektromotoryczna, a r rezystancja wewnętrzna; przy otwartym obwodzie U = ε. Pojedyncze oczko: ε = I(R + r), stąd I = ε/(R + r). Prawo węzłów: ΣI_wp = ΣI_wyp. Prawo oczek: ΣΔU = 0 wzdłuż dowolnej drogi zamkniętej. Dzielnik napięcia bez obciążenia: Uₓ = Uᵢ·R₂/(R₁ + R₂). Dzielnik prądu: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂), ważony rezystancją drugiej gałęzi. Moc tracona: P = I²R; sprawność: η = U/ε.