Physik
Kirchhoff-Rechner: spezifischer Widerstand, reale Quelle und Teiler
Wähle die Beziehung und lösche die gesuchte Größe. Hier steht, was das Ohmsche Gesetz allein nicht abdeckt: wovon der Widerstand eines Kabels abhängt, wie weit die Spannung einer Batterie unter Last einbricht und wie sich Spannungen und Ströme aufteilen.
Warum eine 12-Volt-Batterie nie ganz 12 Volt liefert
Das Ohmsche Gesetz verknüpft drei Größen miteinander, sagt aber nichts darüber, woher der Widerstand kommt und woher die Spannung. Der Widerstand kommt aus Material und Form: R = ρL/A. Das ist die Formel dahinter, warum ein langes Kabel warm wird, warum Installationen in Quadratmillimetern bemessen werden und warum der doppelte Leiterdurchmesser den Widerstand auf ein Viertel und nicht auf die Hälfte senkt.
Die Spannung wiederum stammt aus einer Quelle, die nicht ideal ist. Jede Quelle hat einen Innenwiderstand, und die an den Klemmen gemessene Spannung ist ε − I·r: gleich der EMK nur bei Strom null, stets kleiner, sobald der Kreis geschlossen ist. Das ist die Autobatterie, die beim Starten einbricht, und abstrakter der Grund dafür, dass eine Quelle die größte Leistung abgibt, wenn R gleich r ist – bei einem Wirkungsgrad von dann nur fünfzig Prozent.
Die beiden Kirchhoffschen Regeln erlauben es, für jedes beliebige Netzwerk Gleichungen aufzustellen: am Knoten gleichen die zufließenden Ströme die abfließenden aus, und längs einer Masche summieren sich die Spannungen algebraisch zu null. Es sind keine neuen Prinzipien – sie drücken Ladungs- und Energieerhaltung aus –, aber sie sind der einzige systematische Weg durch einen Kreis, der sich nicht auf Reihe und Parallele zurückführen lässt. Die Teiler sind ihr meistgenutzter Sonderfall.
Häufige Fehler
- Die Widerstände im Stromteiler vertauschen: der Strom durch R₁ ist proportional zu R₂, nicht zu R₁. Mehr Strom fließt dorthin, wo der Widerstand kleiner ist, und die Formel muss das abbilden.
- Den Spannungsteiler mit einer Last am Ausgang verwenden: die Formel gilt im Leerlauf. Sobald der Ausgang Strom zieht, muss R₂ durch die Parallelschaltung von R₂ und der Last ersetzt werden.
- EMK und Klemmenspannung verwechseln: sie stimmen nur im Leerlauf überein. Eine Aufgabe, die beide nennt, nennt damit implizit auch den Innenwiderstand.
- Den Querschnitt aus dem Durchmesser falsch berechnen: A = πd²/4, nicht πd². Ein 1,5-mm²-Kabel hat keinen Durchmesser von 1,5 mm, sondern von rund 1,4 mm.
Häufige Fragen
Wie lauten die beiden Kirchhoffschen Regeln?
Die Knotenregel: die in einen Knoten fließenden Ströme sind gleich den herausfließenden, weil sich dort keine Ladung ansammelt. Die Maschenregel: läuft man eine geschlossene Masche einmal ab, summieren sich die Potentialdifferenzen algebraisch zu null, weil das Potential eine Zustandsgröße ist.
Wie berechnet man den Widerstand eines Kabels?
Mit R = ρL/A, wobei ρ der spezifische Widerstand des Materials, L die Länge und A der Querschnitt ist. Mit ρ in Ω·mm²/m und A in mm² entfällt jede Umrechnung: Kupfer liegt bei etwa 0,0168, Aluminium bei 0,028, Eisen bei 0,10.
Was ist der Innenwiderstand einer Quelle?
Der Widerstand der Quelle selbst, der in Reihe zum äußeren Kreis liegt. Er macht die Klemmenspannung zu ε − I·r statt ε und sorgt dafür, dass ein Teil der erzeugten Leistung in der Quelle statt in der Last umgesetzt wird.
Warum steigt der Widerstand von Metallen mit der Temperatur?
Weil die Gitterionen stärker schwingen und die Leitungselektronen häufiger streuen, was die mittlere freie Weglänge verkürzt. Die Abhängigkeit lässt sich gut durch R = R₀(1 + αΔT) beschreiben, mit α positiv bei Metallen und negativ bei Halbleitern.
Wann gibt eine Quelle die größte Leistung ab?
Wenn der Lastwiderstand gleich dem Innenwiderstand ist, R = r. Dann wird allerdings die Hälfte der Leistung in der Quelle umgesetzt, der Wirkungsgrad beträgt also fünfzig Prozent: maximale Leistung und maximaler Wirkungsgrad sind zwei verschiedene Ziele.
Wie diese Berechnung funktioniert
Widerstand eines Leiters: R = ρL/A, mit ρ als spezifischem Widerstand, L als Länge und A als Querschnitt. Temperaturabhängigkeit: R = R₀(1 + αΔT), eine über mäßige Bereiche gute lineare Näherung. Reale Quelle: U = ε − I·r, mit ε als EMK und r als Innenwiderstand; im Leerlauf U = ε. Einzelne Masche: ε = I(R + r), also I = ε/(R + r). Knotenregel: ΣI_zu = ΣI_ab. Maschenregel: ΣΔU = 0 längs jedes geschlossenen Weges. Spannungsteiler im Leerlauf: Uₐ = Uₑ·R₂/(R₁ + R₂). Stromteiler: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂), gewichtet mit dem Widerstand des anderen Zweigs. Verlustleistung: P = I²R; Wirkungsgrad: η = U/ε.