Physique
Calculatrice de Kirchhoff : résistivité, générateur réel et diviseurs
Choisis la relation et efface la grandeur inconnue. On trouve ici ce que la seule loi d'Ohm ne couvre pas : de quoi dépend la résistance d'un câble, de combien chute la tension d'une pile en charge, et comment se répartissent tensions et courants.
Pourquoi une pile de 12 volts ne donne jamais 12 volts
La loi d'Ohm relie trois grandeurs entre elles, mais ne dit ni d'où vient la résistance ni d'où vient la tension. La résistance vient du matériau et de la forme : R = ρL/A. C'est la formule qui explique pourquoi un long câble chauffe, pourquoi les installations se dimensionnent en millimètres carrés, et pourquoi doubler le diamètre d'un conducteur divise sa résistance par quatre et non par deux.
La tension, elle, provient d'un générateur qui n'est pas idéal. Toute source possède une résistance interne, et la tension mesurée aux bornes vaut ε − I·r : égale à la force électromotrice seulement à courant nul, toujours moindre dès que le circuit est fermé. C'est la batterie de voiture qui s'effondre au démarrage et, plus abstraitement, la raison pour laquelle un générateur délivre sa puissance maximale quand R égale r — avec, en ce point, un rendement de cinquante pour cent seulement.
Les deux lois de Kirchhoff sont ce qui permet d'écrire les équations de n'importe quel réseau : à un nœud les courants entrants équilibrent les sortants, le long d'une maille les tensions s'additionnent algébriquement à zéro. Ce ne sont pas des principes nouveaux — elles expriment la conservation de la charge et de l'énergie — mais c'est la seule méthode systématique pour un circuit qui ne se ramène pas à des séries et des parallèles. Les diviseurs en sont le cas particulier le plus utilisé.
Erreurs fréquentes
- Intervertir les résistances dans le diviseur de courant : le courant dans R₁ est proportionnel à R₂, pas à R₁. Le courant passe davantage là où la résistance est plus faible, et la formule doit le traduire.
- Utiliser le diviseur de tension avec une charge en sortie : la formule vaut à vide. Dès que la sortie appelle du courant, il faut remplacer R₂ par R₂ en parallèle avec la charge.
- Confondre force électromotrice et tension aux bornes : elles ne coïncident qu'à circuit ouvert. Un énoncé qui donne les deux te donne implicitement la résistance interne.
- Se tromper de section à partir du diamètre : A = πd²/4, et non πd². Un câble de 1,5 mm² ne fait pas 1,5 mm de diamètre mais environ 1,4 mm.
Questions fréquentes
Quelles sont les deux lois de Kirchhoff ?
La loi des nœuds : la somme des courants entrant dans un nœud égale celle des courants sortants, car la charge ne s'y accumule pas. La loi des mailles : en parcourant une maille fermée, la somme algébrique des différences de potentiel est nulle, car le potentiel est une fonction d'état.
Comment calculer la résistance d'un câble ?
Avec R = ρL/A, où ρ est la résistivité du matériau, L la longueur et A la section. Avec ρ en Ω·mm²/m et A en mm², aucune conversion n'est nécessaire : le cuivre vaut environ 0,0168, l'aluminium 0,028, le fer 0,10.
Qu'est-ce que la résistance interne d'un générateur ?
C'est la résistance de la source elle-même, placée en série avec le circuit extérieur. Elle fait que la tension aux bornes vaut ε − I·r au lieu de ε, et qu'une partie de la puissance produite est dissipée dans le générateur plutôt que dans la charge.
Pourquoi la résistance des métaux augmente-t-elle avec la température ?
Parce que les ions du réseau vibrent davantage et diffusent plus souvent les électrons de conduction, raccourcissant le libre parcours moyen. La dépendance est bien approchée par R = R₀(1 + αΔT), avec α positif pour les métaux et négatif pour les semi-conducteurs.
Quand un générateur délivre-t-il la puissance maximale ?
Quand la résistance de charge égale la résistance interne, R = r. Mais en ce point la moitié de la puissance est dissipée dans le générateur, donc le rendement est de cinquante pour cent : puissance maximale et rendement maximal sont deux objectifs distincts.
Comment ce calcul fonctionne
Résistance d'un conducteur : R = ρL/A, avec ρ la résistivité, L la longueur et A la section. Dépendance en température : R = R₀(1 + αΔT), approximation linéaire valable sur des intervalles modérés. Générateur réel : U = ε − I·r, avec ε la force électromotrice et r la résistance interne ; à circuit ouvert U = ε. Maille unique : ε = I(R + r), d'où I = ε/(R + r). Loi des nœuds : ΣI_entrants = ΣI_sortants. Loi des mailles : ΣΔU = 0 sur tout parcours fermé. Diviseur de tension à vide : Uₛ = Uₑ·R₂/(R₁ + R₂). Diviseur de courant : I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂), pondéré par la résistance de l'autre branche. Puissance dissipée : P = I²R ; rendement : η = U/ε.