Geometria
Calcolatrice di arco, settore e segmento circolare
Inserisci il raggio e una sola fra angolo, arco, corda, saetta e area del settore: le altre misure della fetta di cerchio si ricavano tutte da lì, e il disegno mostra la fetta in scala.
Le parti del cerchio
Tagliando un cerchio con due raggi si ottiene un settore circolare — la fetta di torta — e l'arco che lo chiude. Tagliandolo invece con una corda si ottiene un segmento circolare, cioè la fetta meno il triangolo che ha la corda per base. Tutte le grandezze in gioco dipendono da due soli numeri, il raggio e l'angolo al centro, ed è per questo che qui basta il raggio più una misura qualsiasi: da quella si risale all'angolo, e dall'angolo discende tutto il resto.
Il conto più semplice è quello dell'arco, purché l'angolo sia in radianti: arco = r·θ. In gradi la stessa formula diventa arco = 2πr·θ/360, cioè la circonferenza moltiplicata per la frazione di giro che l'angolo rappresenta, ed è lo stesso ragionamento che dà l'area del settore come frazione dell'area del cerchio. Il segmento circolare richiede un passaggio in più: si prende il settore e si sottrae il triangolo isoscele formato dai due raggi e dalla corda, che vale ½r²·sen θ.
La saetta — l'altezza del segmento, la distanza fra il punto medio della corda e l'arco — è la misura che compare quando si lavora su una curva reale invece che su un disegno: il raggio di una curva stradale, la campanatura di una volta, il profilo di un arco in muratura. Si misura facilmente sul posto tendendo una corda e misurando la freccia al centro, ed è proprio da corda e saetta che si risale al raggio: r = (corda²/4 + saetta²)/(2·saetta).
Errori frequenti
- Usare arco = r·θ con l'angolo in gradi. La formula vale solo in radianti: con θ in gradi va prima convertito moltiplicando per π/180, altrimenti l'arco risulta circa 57 volte troppo lungo.
- Confondere il settore con il segmento. Il settore è delimitato da due raggi e dall'arco, il segmento dalla corda e dall'arco: il secondo è sempre più piccolo del primo, e la differenza è il triangolo isoscele che sta fra i due raggi e la corda.
- Ricavare l'angolo da una corda senza chiedersi quale arco si intende. La stessa corda chiude sia l'arco minore sia quello maggiore, e la formula con l'arcoseno restituisce sempre il minore. Se il problema parla della parte maggiore del cerchio, l'angolo è 360° meno quello calcolato.
Domande frequenti
Come si calcola la lunghezza di un arco di circonferenza?
Con l'angolo al centro in radianti, arco = r·θ. Con l'angolo in gradi, arco = 2πr·θ/360: si prende cioè la circonferenza e se ne considera la frazione corrispondente all'angolo. Un arco di 90° su un raggio di 10 misura 2π·10·90/360 ≈ 15,71.
Qual è la differenza fra settore circolare e segmento circolare?
Il settore è la fetta delimitata da due raggi e dall'arco; il segmento è la parte compresa fra la corda e l'arco. Il segmento si ottiene dal settore togliendo il triangolo isoscele formato dai due raggi: area del segmento = ½r²(θ − sen θ), con θ in radianti.
Come si calcola l'area di un settore circolare?
Area = ½r²θ con θ in radianti, oppure area = πr²·θ/360 con θ in gradi. È l'area del cerchio moltiplicata per la frazione di giro coperta dall'angolo. Equivale anche a metà del prodotto fra raggio e lunghezza dell'arco.
Come si trova il raggio conoscendo corda e saetta?
Con la formula r = (corda²/4 + saetta²)/(2·saetta). È il calcolo che si fa per misurare il raggio di una curva senza raggiungerne il centro: si tende una corda fra due punti dell'arco e si misura la distanza massima fra la corda e l'arco. In questa calcolatrice puoi verificarlo inserendo il raggio trovato e la corda.
Che cos'è la saetta di un arco?
È l'altezza del segmento circolare: la distanza fra il punto medio della corda e l'arco, misurata perpendicolarmente alla corda. Si chiama anche freccia. Vale r − r·cos(θ/2), e insieme alla distanza del centro dalla corda ricompone sempre il raggio.
Come funziona questo calcolo
Con θ in radianti: arco = r·θ; corda = 2r·sen(θ/2); saetta = r(1 − cos(θ/2)); distanza del centro dalla corda = r·cos(θ/2); area del settore = ½r²θ; area del segmento = ½r²(θ − sen θ); perimetro del settore = arco + 2r; perimetro del segmento = arco + corda. In gradi: arco = 2πr·θ/360 e area del settore = πr²·θ/360. Per risalire all'angolo dalle altre misure: dall'arco θ = arco/r; dalla corda sen(θ/2) = corda/(2r), che dà l'arco minore, mentre il maggiore ha angolo 360° − θ; dalla saetta cos(θ/2) = 1 − saetta/r; dall'area del settore θ = 2·area/r². Vincoli: la corda e la saetta non superano 2r, l'arco non supera 2πr, il settore non supera πr². Raggio da corda e saetta: r = (corda²/4 + saetta²)/(2·saetta).