Géométrie
Calculateur d'arc, de secteur et de segment circulaire
Saisissez le rayon et une seule mesure parmi l'angle, l'arc, la corde, la flèche et l'aire du secteur : toutes les autres mesures de la part s'en déduisent, et le dessin la montre à l'échelle.
Les parties du cercle
Couper un cercle par deux rayons donne un secteur circulaire — la part de tarte — fermé par un arc. Le couper par une corde donne un segment circulaire, c'est-à-dire le secteur moins le triangle appuyé sur cette corde. Toutes les grandeurs en jeu ne dépendent que de deux nombres, le rayon et l'angle au centre, et c'est pourquoi le rayon plus une mesure quelconque suffit ici : celle-ci redonne l'angle, et l'angle donne tout le reste.
La formule la plus simple est celle de l'arc, à condition que l'angle soit en radians : arc = r·θ. En degrés, elle s'écrit arc = 2πr·θ/360, soit la circonférence multipliée par la fraction de tour que couvre l'angle — et c'est le même raisonnement qui fait de l'aire du secteur cette même fraction de l'aire du disque. Le segment demande une étape de plus : on prend le secteur et on retranche le triangle isocèle formé par les deux rayons et la corde, dont l'aire vaut ½r²·sin θ.
La flèche — la hauteur du segment, du milieu de la corde jusqu'à l'arc — est la mesure qui apparaît quand la courbe est réelle et non dessinée : le rayon d'un virage, la montée d'une voûte, le profil d'un arc en maçonnerie. Elle se relève facilement sur le terrain en tendant un cordeau entre deux points de l'arc et en mesurant l'écart au milieu, et de la corde et de la flèche on remonte au rayon : r = (corde²/4 + flèche²)/(2·flèche).
Erreurs fréquentes
- Utiliser arc = r·θ avec l'angle en degrés. Cette formule ne vaut qu'en radians : avec θ en degrés il faut d'abord convertir en multipliant par π/180, sinon l'arc sort environ 57 fois trop long.
- Confondre le secteur et le segment. Le secteur est limité par deux rayons et l'arc, le segment par la corde et l'arc : le second est toujours plus petit, et leur différence est le triangle isocèle situé entre les deux rayons et la corde.
- Tirer l'angle d'une corde sans se demander de quel arc il s'agit. La même corde ferme l'arc mineur comme l'arc majeur, et la formule avec l'arcsinus renvoie toujours le mineur. Si le problème porte sur la plus grande partie du cercle, l'angle vaut 360° moins celui calculé.
Questions fréquentes
Comment calculer la longueur d'un arc de cercle ?
Avec l'angle au centre en radians, arc = r·θ. Avec l'angle en degrés, arc = 2πr·θ/360 : on prend la circonférence et on en garde la fraction couverte par l'angle. Un arc de 90° sur un rayon de 10 mesure 2π·10·90/360 ≈ 15,71.
Quelle différence entre secteur circulaire et segment circulaire ?
Le secteur est la part délimitée par deux rayons et l'arc ; le segment est la partie comprise entre la corde et l'arc. Le segment s'obtient du secteur en retirant le triangle isocèle formé par les deux rayons : aire du segment = ½r²(θ − sin θ), avec θ en radians.
Comment calculer l'aire d'un secteur circulaire ?
Aire = ½r²θ avec θ en radians, ou aire = πr²·θ/360 avec θ en degrés. C'est l'aire du disque multipliée par la fraction de tour couverte par l'angle. Cela vaut aussi la moitié du produit du rayon par la longueur de l'arc.
Comment trouver le rayon à partir d'une corde et d'une flèche ?
Avec r = (corde²/4 + flèche²)/(2·flèche). C'est ainsi que l'on mesure le rayon d'une courbe sans atteindre son centre : on tend un cordeau entre deux points de l'arc et on mesure l'écart maximal entre le cordeau et l'arc. Vous pouvez le vérifier ici en saisissant le rayon trouvé avec la corde.
Qu'est-ce que la flèche d'un arc ?
C'est la hauteur du segment circulaire : la distance du milieu de la corde à l'arc, mesurée perpendiculairement à la corde. Elle vaut r − r·cos(θ/2), et avec la distance du centre à la corde elle reconstitue toujours le rayon.
Comment fonctionne ce calcul
Avec θ en radians : arc = r·θ ; corde = 2r·sin(θ/2) ; flèche = r(1 − cos(θ/2)) ; distance du centre à la corde = r·cos(θ/2) ; aire du secteur = ½r²θ ; aire du segment = ½r²(θ − sin θ) ; périmètre du secteur = arc + 2r ; périmètre du segment = arc + corde. En degrés : arc = 2πr·θ/360 et aire du secteur = πr²·θ/360. Pour remonter à l'angle depuis les autres mesures : depuis l'arc, θ = arc/r ; depuis la corde, sin(θ/2) = corde/(2r), ce qui donne l'arc mineur, le majeur ayant pour angle 360° − θ ; depuis la flèche, cos(θ/2) = 1 − flèche/r ; depuis l'aire du secteur, θ = 2·aire/r². Limites : la corde et la flèche ne dépassent pas 2r, l'arc ne dépasse pas 2πr, le secteur ne dépasse pas πr². Rayon à partir d'une corde et d'une flèche : r = (corde²/4 + flèche²)/(2·flèche).