Geometrie
Kreisbogen, Kreissektor und Kreissegment berechnen
Gib den Radius ein und genau eines aus Winkel, Bogen, Sehne, Stichhöhe und Sektorfläche: alle übrigen Maße des Kreisstücks folgen daraus, und die Zeichnung zeigt es maßstabsgetreu.
Die Teile des Kreises
Schneidet man einen Kreis mit zwei Radien, entsteht ein Kreissektor – das Tortenstück –, den ein Bogen schließt. Schneidet man ihn stattdessen mit einer Sehne, entsteht ein Kreissegment: der Sektor ohne das Dreieck, das auf dieser Sehne steht. Alle beteiligten Größen hängen von nur zwei Zahlen ab, dem Radius und dem Mittelpunktswinkel, und deshalb genügt hier der Radius plus ein beliebiges Maß: daraus kommt der Winkel zurück, und aus dem Winkel alles Übrige.
Die einfachste Formel ist die des Bogens, sofern der Winkel im Bogenmaß steht: Bogen = r·θ. In Grad lautet dieselbe Formel Bogen = 2πr·θ/360, also der Umfang mal dem Anteil einer vollen Drehung, den der Winkel abdeckt – und dieselbe Überlegung macht die Sektorfläche zu genau diesem Anteil der Kreisfläche. Das Segment verlangt einen Schritt mehr: man nimmt den Sektor und zieht das gleichschenklige Dreieck aus den beiden Radien und der Sehne ab, dessen Fläche ½r²·sin θ beträgt.
Die Stichhöhe – die Höhe des Segments, vom Mittelpunkt der Sehne bis zum Bogen – ist das Maß, das auftaucht, wenn die Kurve eine wirkliche ist und keine Zeichnung: der Radius einer Straßenkurve, die Stichhöhe eines Gewölbes, das Profil eines gemauerten Bogens. Sie lässt sich vor Ort leicht nehmen, indem man eine Schnur zwischen zwei Punkten des Bogens spannt und in der Mitte den Abstand misst, und aus Sehne und Stichhöhe kommt der Radius zurück: r = (Sehne²/4 + Stichhöhe²)/(2·Stichhöhe).
Häufige Fehler
- Bogen = r·θ mit dem Winkel in Grad verwenden. Diese Formel gilt nur im Bogenmaß: mit θ in Grad muss erst mit π/180 umgerechnet werden, sonst fällt der Bogen rund 57-mal zu lang aus.
- Sektor und Segment verwechseln. Der Sektor wird von zwei Radien und dem Bogen begrenzt, das Segment von der Sehne und dem Bogen: das zweite ist stets kleiner, und der Unterschied ist das gleichschenklige Dreieck zwischen den beiden Radien und der Sehne.
- Den Winkel aus einer Sehne bestimmen, ohne zu fragen, welcher Bogen gemeint ist. Dieselbe Sehne schließt sowohl den kleineren als auch den größeren Bogen, und die Formel mit dem Arkussinus liefert immer den kleineren. Geht es um den größeren Teil des Kreises, ist der Winkel 360° minus dem berechneten.
Häufige Fragen
Wie berechnet man die Länge eines Kreisbogens?
Mit dem Mittelpunktswinkel im Bogenmaß gilt Bogen = r·θ. In Grad gilt Bogen = 2πr·θ/360: man nimmt den Umfang und behält den Anteil, den der Winkel abdeckt. Ein Bogen von 90° bei Radius 10 misst 2π·10·90/360 ≈ 15,71.
Was ist der Unterschied zwischen Kreissektor und Kreissegment?
Der Sektor ist das von zwei Radien und dem Bogen begrenzte Stück; das Segment ist der Teil zwischen Sehne und Bogen. Das Segment entsteht aus dem Sektor, indem man das gleichschenklige Dreieck der beiden Radien entfernt: Segmentfläche = ½r²(θ − sin θ), mit θ im Bogenmaß.
Wie berechnet man die Fläche eines Kreissektors?
Fläche = ½r²θ mit θ im Bogenmaß oder Fläche = πr²·θ/360 mit θ in Grad. Es ist die Kreisfläche mal dem Anteil einer Drehung, den der Winkel abdeckt. Ebenso gilt: halber Radius mal Bogenlänge.
Wie findet man den Radius aus Sehne und Stichhöhe?
Mit r = (Sehne²/4 + Stichhöhe²)/(2·Stichhöhe). So misst man den Radius einer Kurve, ohne ihren Mittelpunkt zu erreichen: eine Schnur zwischen zwei Punkten des Bogens spannen und den größten Abstand zwischen Schnur und Bogen messen. Hier lässt sich das prüfen, indem man den gefundenen Radius zusammen mit der Sehne eingibt.
Was ist die Stichhöhe eines Bogens?
Sie ist die Höhe des Kreissegments: der Abstand vom Mittelpunkt der Sehne bis zum Bogen, senkrecht zur Sehne gemessen. Sie beträgt r − r·cos(θ/2) und ergibt zusammen mit dem Abstand des Mittelpunkts von der Sehne stets wieder den Radius.
Wie diese Berechnung funktioniert
Mit θ im Bogenmaß: Bogen = r·θ; Sehne = 2r·sin(θ/2); Stichhöhe = r(1 − cos(θ/2)); Abstand des Mittelpunkts von der Sehne = r·cos(θ/2); Sektorfläche = ½r²θ; Segmentfläche = ½r²(θ − sin θ); Sektorumfang = Bogen + 2r; Segmentumfang = Bogen + Sehne. In Grad: Bogen = 2πr·θ/360 und Sektorfläche = πr²·θ/360. Den Winkel aus den übrigen Maßen: aus dem Bogen θ = Bogen/r; aus der Sehne sin(θ/2) = Sehne/(2r), was den kleineren Bogen liefert, während der größere den Winkel 360° − θ hat; aus der Stichhöhe cos(θ/2) = 1 − Stichhöhe/r; aus der Sektorfläche θ = 2·Fläche/r². Grenzen: Sehne und Stichhöhe überschreiten 2r nicht, der Bogen nicht 2πr, der Sektor nicht πr². Radius aus Sehne und Stichhöhe: r = (Sehne²/4 + Stichhöhe²)/(2·Stichhöhe).