Geometría
Calculadora de arco, sector y segmento circular
Introduce el radio y solo una entre ángulo, arco, cuerda, flecha y área del sector: el resto de medidas de la porción se deducen de ahí, y el dibujo muestra la porción a escala.
Las partes del círculo
Si cortas un círculo con dos radios obtienes un sector circular —la porción de tarta— cerrado por un arco. Si lo cortas con una cuerda obtienes un segmento circular, es decir, el sector menos el triángulo que se apoya en esa cuerda. Todas las magnitudes en juego dependen de solo dos números, el radio y el ángulo central, y por eso aquí basta el radio más una medida cualquiera: de ella se recupera el ángulo, y del ángulo sale todo lo demás.
La fórmula más sencilla es la del arco, siempre que el ángulo esté en radianes: arco = r·θ. En grados esa misma fórmula se escribe arco = 2πr·θ/360, es decir, la circunferencia multiplicada por la fracción de vuelta que abarca el ángulo, y es el mismo razonamiento que da el área del sector como esa fracción del área del círculo. El segmento pide un paso más: se toma el sector y se resta el triángulo isósceles formado por los dos radios y la cuerda, cuya área vale ½r²·sen θ.
La flecha —la altura del segmento, del punto medio de la cuerda hasta el arco— es la medida que aparece cuando la curva es real y no un dibujo: el radio de una curva de carretera, el peralte de una bóveda, el perfil de un arco de fábrica. Se toma fácilmente sobre el terreno tendiendo un cordel entre dos puntos del arco y midiendo la separación máxima en el centro, y de la cuerda y la flecha se recupera el radio: r = (cuerda²/4 + flecha²)/(2·flecha).
Errores frecuentes
- Usar arco = r·θ con el ángulo en grados. Esa fórmula solo vale en radianes: con θ en grados hay que convertirlo antes multiplicando por π/180, o el arco sale unas 57 veces más largo de lo debido.
- Confundir el sector con el segmento. El sector está limitado por dos radios y el arco, el segmento por la cuerda y el arco: el segundo siempre es menor, y la diferencia es el triángulo isósceles que queda entre los dos radios y la cuerda.
- Obtener el ángulo a partir de una cuerda sin preguntarse a qué arco se refiere. La misma cuerda cierra tanto el arco menor como el mayor, y la fórmula con el arcoseno devuelve siempre el menor. Si el problema habla de la parte mayor del círculo, el ángulo es 360° menos el calculado.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula la longitud de un arco de circunferencia?
Con el ángulo central en radianes, arco = r·θ. Con el ángulo en grados, arco = 2πr·θ/360: se toma la circunferencia y se conserva la fracción que abarca el ángulo. Un arco de 90° con radio 10 mide 2π·10·90/360 ≈ 15,71.
¿Qué diferencia hay entre sector circular y segmento circular?
El sector es la porción limitada por dos radios y el arco; el segmento es la parte comprendida entre la cuerda y el arco. El segmento se obtiene del sector quitando el triángulo isósceles que forman los dos radios: área del segmento = ½r²(θ − sen θ), con θ en radianes.
¿Cómo se calcula el área de un sector circular?
Área = ½r²θ con θ en radianes, o área = πr²·θ/360 con θ en grados. Es el área del círculo multiplicada por la fracción de vuelta que abarca el ángulo. También equivale a la mitad del producto del radio por la longitud del arco.
¿Cómo se halla el radio conociendo la cuerda y la flecha?
Con la fórmula r = (cuerda²/4 + flecha²)/(2·flecha). Es el cálculo que se hace para medir el radio de una curva sin llegar a su centro: se tiende un cordel entre dos puntos del arco y se mide la separación máxima entre el cordel y el arco. Aquí puedes comprobarlo introduciendo el radio obtenido junto con la cuerda.
¿Qué es la flecha de un arco?
Es la altura del segmento circular: la distancia del punto medio de la cuerda al arco, medida perpendicularmente a la cuerda. También se llama sagita. Vale r − r·cos(θ/2), y junto con la distancia del centro a la cuerda siempre reconstruye el radio.
Cómo funciona este cálculo
Con θ en radianes: arco = r·θ; cuerda = 2r·sen(θ/2); flecha = r(1 − cos(θ/2)); distancia del centro a la cuerda = r·cos(θ/2); área del sector = ½r²θ; área del segmento = ½r²(θ − sen θ); perímetro del sector = arco + 2r; perímetro del segmento = arco + cuerda. En grados: arco = 2πr·θ/360 y área del sector = πr²·θ/360. Para recuperar el ángulo a partir de las demás medidas: del arco, θ = arco/r; de la cuerda, sen(θ/2) = cuerda/(2r), que da el arco menor, mientras que el mayor tiene ángulo 360° − θ; de la flecha, cos(θ/2) = 1 − flecha/r; del área del sector, θ = 2·área/r². Límites: la cuerda y la flecha no superan 2r, el arco no supera 2πr, el sector no supera πr². Radio a partir de la cuerda y la flecha: r = (cuerda²/4 + flecha²)/(2·flecha).