Geometria
Calculadora de arco, setor e segmento circular
Informe o raio e apenas um entre ângulo, arco, corda, flecha ou área do setor: todas as outras medidas da fatia saem dele, e o desenho mostra a fatia em escala.
As partes de um círculo
Corte um círculo com dois raios e você obtém um setor — a fatia de pizza — fechado por um arco. Corte-o com uma corda e você obtém um segmento circular: o setor menos o triângulo apoiado sobre essa corda. Todas as grandezas envolvidas dependem de só dois números, o raio e o ângulo central, e é por isso que aqui basta o raio mais uma medida qualquer: ela recupera o ângulo, e o ângulo dá o resto.
A mais simples das fórmulas é a do arco, desde que o ângulo esteja em radianos: arco = r·θ. Em graus a mesma coisa se lê arco = 2πr·θ/360 — a circunferência vezes a fração de volta que o ângulo cobre —, e é o mesmo raciocínio que faz a área do setor ser essa fração da área do círculo. O segmento precisa de um passo a mais: pegue o setor e subtraia o triângulo isósceles formado pelos dois raios e pela corda, cuja área é ½r²·sen θ.
A flecha — a altura do segmento, do ponto médio da corda até o arco — é a medida que aparece quando a curva é real e não um desenho: o raio de uma curva de estrada, a altura de uma abóbada, o perfil de um arco de alvenaria. É fácil de tirar na obra esticando uma linha entre dois pontos do arco e medindo a altura no meio, e corda e flecha juntas devolvem o raio: r = (corda²/4 + flecha²)/(2·flecha).
Erros frequentes
- Usar arco = r·θ com o ângulo em graus. Essa fórmula só vale em radianos: com θ em graus é preciso converter antes multiplicando por π/180, senão o arco sai umas 57 vezes maior.
- Confundir setor e segmento. O setor é limitado por dois raios e pelo arco, o segmento pela corda e pelo arco: o segundo é sempre o menor, e a diferença entre eles é o triângulo isósceles entre os dois raios e a corda.
- Recuperar o ângulo a partir de uma corda sem perguntar qual arco se quer. A mesma corda fecha tanto o arco menor quanto o maior, e a fórmula do arco seno sempre devolve o menor. Se o problema trata da parte maior do círculo, o ângulo é 360° menos o calculado.
Perguntas frequentes
Como se calcula o comprimento de um arco?
Com o ângulo central em radianos, arco = r·θ. Com o ângulo em graus, arco = 2πr·θ/360: pega-se a circunferência e fica-se com a fração que o ângulo cobre. Um arco de 90° em um raio de 10 mede 2π·10·90/360 ≈ 15,71.
Qual a diferença entre setor e segmento?
O setor é a fatia limitada por dois raios e pelo arco; o segmento é a parte entre a corda e o arco. O segmento sai do setor tirando o triângulo isósceles formado pelos dois raios: área do segmento = ½r²(θ − sen θ), com θ em radianos.
Como se calcula a área de um setor?
Área = ½r²θ com θ em radianos, ou área = πr²·θ/360 com θ em graus. É a área do círculo vezes a fração de volta que o ângulo cobre. Também é igual a metade do raio vezes o comprimento do arco.
Como se encontra o raio a partir da corda e da flecha?
Com r = (corda²/4 + flecha²)/(2·flecha). É assim que se mede o raio de uma curva sem chegar ao seu centro: estica-se uma linha entre dois pontos do arco e mede-se a maior distância entre a linha e o arco. Você pode conferir aqui informando o raio encontrado junto com a corda.
O que é a flecha de um arco?
É a altura do segmento circular: a distância do ponto médio da corda até o arco, medida perpendicularmente à corda. Vale r − r·cos(θ/2), e somada à distância do centro à corda sempre recompõe o raio.
Como funciona este cálculo
Com θ em radianos: arco = r·θ; corda = 2r·sen(θ/2); flecha = r(1 − cos(θ/2)); distância do centro à corda = r·cos(θ/2); área do setor = ½r²θ; área do segmento = ½r²(θ − sen θ); perímetro do setor = arco + 2r; perímetro do segmento = arco + corda. Em graus: arco = 2πr·θ/360 e área do setor = πr²·θ/360. Recuperando o ângulo a partir das outras medidas: pelo arco, θ = arco/r; pela corda, sen(θ/2) = corda/(2r), que dá o arco menor, sendo 360° − θ o ângulo do maior; pela flecha, cos(θ/2) = 1 − flecha/r; pela área do setor, θ = 2·área/r². Limites: corda e flecha não podem passar de 2r, o arco não pode passar de 2πr, o setor não pode passar de πr². Raio a partir de corda e flecha: r = (corda²/4 + flecha²)/(2·flecha).