Geometria
Kalkulator łuku, wycinka i odcinka koła
Podaj promień i tylko jedną z miar: kąt, łuk, cięciwę, strzałkę albo pole wycinka. Pozostałe miary tej części koła wynikają z niej, a rysunek pokazuje ją w skali.
Części koła
Przecinając koło dwoma promieniami, otrzymujemy wycinek koła — kawałek tortu — domknięty łukiem. Przecinając je cięciwą, otrzymujemy odcinek koła, czyli wycinek pomniejszony o trójkąt oparty na tej cięciwie. Wszystkie występujące tu wielkości zależą tylko od dwóch liczb, promienia i kąta środkowego, i dlatego wystarcza promień oraz dowolna jedna miara: z niej odtwarza się kąt, a z kąta wynika cała reszta.
Najprostszy jest wzór na łuk, pod warunkiem że kąt jest w radianach: łuk = r·θ. W stopniach ten sam wzór brzmi łuk = 2πr·θ/360, czyli obwód pomnożony przez tę część pełnego obrotu, którą obejmuje kąt — i to samo rozumowanie czyni pole wycinka taką właśnie częścią pola koła. Odcinek wymaga jednego kroku więcej: bierze się wycinek i odejmuje trójkąt równoramienny utworzony przez dwa promienie i cięciwę, o polu ½r²·sin θ.
Strzałka — wysokość odcinka, od środka cięciwy do łuku — to miara, która pojawia się, gdy krzywa jest rzeczywista, a nie narysowana: promień łuku drogi, wzniesienie sklepienia, profil łuku murowanego. Łatwo ją zdjąć na miejscu, napinając sznur między dwoma punktami łuku i mierząc odstęp pośrodku, a z cięciwy i strzałki odtwarza się promień: r = (cięciwa²/4 + strzałka²)/(2·strzałka).
Częste błędy
- Stosowanie wzoru łuk = r·θ z kątem w stopniach. Ten wzór obowiązuje tylko w radianach: przy θ w stopniach trzeba najpierw przeliczyć, mnożąc przez π/180, inaczej łuk wychodzi około 57 razy za długi.
- Mylenie wycinka z odcinkiem. Wycinek ograniczają dwa promienie i łuk, odcinek — cięciwa i łuk: drugi jest zawsze mniejszy, a różnicę stanowi trójkąt równoramienny między dwoma promieniami a cięciwą.
- Wyznaczanie kąta z cięciwy bez pytania, o który łuk chodzi. Ta sama cięciwa domyka zarówno łuk mniejszy, jak i większy, a wzór z arkusem sinusa zwraca zawsze mniejszy. Jeśli zadanie dotyczy większej części koła, kąt wynosi 360° minus obliczony.
Najczęstsze pytania
Jak obliczyć długość łuku okręgu?
Przy kącie środkowym w radianach łuk = r·θ. Przy kącie w stopniach łuk = 2πr·θ/360: bierze się obwód i zachowuje tę jego część, którą obejmuje kąt. Łuk 90° przy promieniu 10 ma długość 2π·10·90/360 ≈ 15,71.
Czym różni się wycinek koła od odcinka koła?
Wycinek to część ograniczona dwoma promieniami i łukiem; odcinek to część między cięciwą a łukiem. Odcinek otrzymuje się z wycinka, usuwając trójkąt równoramienny utworzony przez dwa promienie: pole odcinka = ½r²(θ − sin θ), przy θ w radianach.
Jak obliczyć pole wycinka koła?
Pole = ½r²θ przy θ w radianach albo pole = πr²·θ/360 przy θ w stopniach. To pole koła pomnożone przez tę część obrotu, którą obejmuje kąt. Równa się też połowie iloczynu promienia i długości łuku.
Jak znaleźć promień, znając cięciwę i strzałkę?
Ze wzoru r = (cięciwa²/4 + strzałka²)/(2·strzałka). Tak mierzy się promień łuku bez dostępu do jego środka: napina się sznur między dwoma punktami łuku i mierzy największy odstęp między sznurem a łukiem. Możesz to tu sprawdzić, wpisując znaleziony promień razem z cięciwą.
Czym jest strzałka łuku?
To wysokość odcinka koła: odległość od środka cięciwy do łuku, mierzona prostopadle do cięciwy. Wynosi r − r·cos(θ/2) i razem z odległością środka od cięciwy zawsze odtwarza promień.
Jak działa to obliczenie
Przy θ w radianach: łuk = r·θ; cięciwa = 2r·sin(θ/2); strzałka = r(1 − cos(θ/2)); odległość środka od cięciwy = r·cos(θ/2); pole wycinka = ½r²θ; pole odcinka = ½r²(θ − sin θ); obwód wycinka = łuk + 2r; obwód odcinka = łuk + cięciwa. W stopniach: łuk = 2πr·θ/360 oraz pole wycinka = πr²·θ/360. Odtwarzanie kąta z pozostałych miar: z łuku θ = łuk/r; z cięciwy sin(θ/2) = cięciwa/(2r), co daje łuk mniejszy, podczas gdy większy ma kąt 360° − θ; ze strzałki cos(θ/2) = 1 − strzałka/r; z pola wycinka θ = 2·pole/r². Ograniczenia: cięciwa i strzałka nie przekraczają 2r, łuk nie przekracza 2πr, wycinek nie przekracza πr². Promień z cięciwy i strzałki: r = (cięciwa²/4 + strzałka²)/(2·strzałka).