Matematica
Calcolatrice di calcolo combinatorio
Scegli il tipo di raggruppamento, inserisci n e k, e ottieni il conteggio esatto con la formula applicata ai tuoi numeri. Se non sai quale scegliere, la guida sotto parte dalle due domande che bastano a deciderlo.
Quale formula usare: due domande bastano
Il calcolo combinatorio ha sei formule che si confondono facilmente, ma per scegliere quella giusta servono solo due domande. Primo: l'ordine conta? Se scambiare due elementi produce un raggruppamento diverso — una classifica, una password, una sequenza — l'ordine conta e si parla di disposizioni o permutazioni; se non lo produce — una squadra, una mano di carte, un insieme di numeri — si parla di combinazioni. Secondo: un elemento può comparire più volte? Se sì si usa la variante «con ripetizione».
La differenza fra disposizioni e permutazioni è solo quanti elementi si prendono: le permutazioni sono il caso in cui si usano tutti gli n elementi, quindi sono le disposizioni con k = n, e il conteggio si riduce a n!. Le combinazioni si ottengono invece dalle disposizioni dividendo per k!, che è il numero di modi in cui i k elementi scelti potrebbero essere riordinati: dividere per quel numero è esattamente ciò che significa «l'ordine non conta».
Il coefficiente binomiale «n su k» non è una formula diversa dalle combinazioni: è la stessa, con un altro nome e un'altra notazione. Compare nello sviluppo della potenza di un binomio e nel triangolo di Tartaglia, dove ogni riga elenca le combinazioni di n elementi presi 0, 1, 2… n alla volta. È anche il motivo per cui C(n; k) = C(n; n−k): scegliere chi entra equivale a scegliere chi resta fuori.
Errori frequenti
- Usare le disposizioni dove servono le combinazioni: se l'esercizio chiede quante squadre di 5 da 12 giocatori, l'ordine non conta e la risposta è C(12; 5) = 792, non D(12; 5) = 95.040. Il secondo numero è 120 volte più grande, cioè 5!.
- Dimenticare che nelle disposizioni con ripetizione k può superare n: con 26 lettere si formano password di 8 caratteri, e 26⁸ è perfettamente definito. Il vincolo k ≤ n vale solo senza ripetizione.
- Calcolare gli anagrammi di una parola con lettere ripetute come semplice fattoriale: MATEMATICA ha 10 lettere, ma 10! conta come diverse le permutazioni delle tre A fra loro. Bisogna dividere per 3!·2!·2!.
Domande frequenti
Qual è la differenza fra disposizioni e combinazioni?
Nelle disposizioni l'ordine conta, nelle combinazioni no. Da tre lettere A, B, C le disposizioni di due elementi sono sei (AB, BA, AC, CA, BC, CB), le combinazioni sono tre (AB, AC, BC). Le combinazioni si ottengono dalle disposizioni dividendo per k!.
Perché 0! vale 1?
Perché c'è esattamente un modo di ordinare zero oggetti: non fare nulla. La convenzione non è arbitraria, è quella che rende coerenti tutte le formule: senza di essa C(n; 0) e C(n; n) non varrebbero 1 come devono.
Come si calcola il coefficiente binomiale?
«n su k» vale n! / (k! · (n−k)!) ed è la stessa cosa delle combinazioni semplici di n elementi presi k alla volta. Vale la simmetria C(n; k) = C(n; n−k), che spesso dimezza i conti.
Quanti anagrammi ha una parola con lettere ripetute?
Si divide il fattoriale del numero totale di lettere per il prodotto dei fattoriali delle ripetizioni. MATEMATICA ha 10 lettere con A tre volte, M due e T due: 10!/(3!·2!·2!) = 151.200.
Come funziona questo calcolo
Fattoriale: n! = n·(n−1)·…·2·1, con 0! = 1. Permutazioni semplici di n elementi: Pₙ = n!. Permutazioni con ripetizione, con elementi ripetuti n₁, n₂, … volte: n!/(n₁!·n₂!·…). Disposizioni semplici: D(n; k) = n!/(n−k)! = n·(n−1)·…·(n−k+1), richiede k ≤ n. Disposizioni con ripetizione: D′(n; k) = nᵏ, senza vincolo fra n e k. Combinazioni semplici, ossia coefficiente binomiale: C(n; k) = n!/(k!·(n−k)!), con C(n; k) = C(n; n−k). Combinazioni con ripetizione: C′(n; k) = C(n+k−1; k). I conteggi sono svolti in aritmetica intera esatta, perché oltre 20! i numeri superano la precisione dei decimali in virgola mobile.