Mathématiques
Calculatrice de dénombrement
Choisissez le type de groupement, saisissez n et k, et obtenez le décompte exact avec la formule appliquée à vos nombres. Si vous hésitez, le guide ci-dessous part des deux questions qui suffisent à trancher.
Quelle formule utiliser : deux questions suffisent
Le dénombrement compte six formules faciles à confondre, mais choisir la bonne ne demande que deux questions. D'abord : l'ordre compte-t-il ? Si échanger deux éléments produit un groupement différent — un classement, un mot de passe, une suite — l'ordre compte et l'on parle d'arrangements ou de permutations ; sinon — une équipe, une main de cartes, un ensemble de nombres — on parle de combinaisons. Ensuite : un élément peut-il apparaître plusieurs fois ? Si oui, on utilise la variante « avec répétition ».
La différence entre arrangements et permutations tient seulement au nombre d'éléments pris : les permutations sont le cas où l'on utilise les n éléments, ce sont donc les arrangements avec k = n, et le décompte se réduit à n !. Les combinaisons s'obtiennent en revanche à partir des arrangements en divisant par k !, le nombre de façons de réordonner les k éléments choisis : diviser par ce nombre, c'est exactement ce que signifie « l'ordre ne compte pas ».
Le coefficient binomial « k parmi n » n'est pas une formule différente des combinaisons : c'est la même, sous un autre nom et une autre notation. Il apparaît dans le développement de la puissance d'un binôme et dans le triangle de Pascal, où chaque ligne énumère les combinaisons de n éléments pris 0, 1, 2… n à la fois. C'est aussi pourquoi C(n ; k) = C(n ; n−k) : choisir qui entre revient à choisir qui reste dehors.
Erreurs fréquentes
- Utiliser des arrangements là où il faut des combinaisons : si l'exercice demande combien d'équipes de 5 avec 12 joueurs, l'ordre ne compte pas et la réponse est C(12 ; 5) = 792, pas A(12 ; 5) = 95 040. Le second nombre est 120 fois plus grand, soit 5 !.
- Oublier que dans les arrangements avec répétition k peut dépasser n : avec 26 lettres on forme des mots de passe de 8 caractères, et 26⁸ est parfaitement défini. La contrainte k ≤ n ne vaut que sans répétition.
- Calculer les anagrammes d'un mot à lettres répétées comme une simple factorielle : MATHÉMATIQUES a 13 lettres, mais 13 ! compte comme distinctes les permutations des lettres identiques entre elles. Il faut diviser par les factorielles des répétitions.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre arrangements et combinaisons ?
Dans les arrangements l'ordre compte, dans les combinaisons non. Avec trois lettres A, B, C, les arrangements de deux éléments sont six (AB, BA, AC, CA, BC, CB), les combinaisons sont trois (AB, AC, BC). Les combinaisons s'obtiennent des arrangements en divisant par k !.
Pourquoi 0 ! vaut-il 1 ?
Parce qu'il y a exactement une façon d'ordonner zéro objet : ne rien faire. La convention n'est pas arbitraire, c'est elle qui rend toutes les formules cohérentes : sans elle, C(n ; 0) et C(n ; n) ne vaudraient pas 1 comme ils le doivent.
Comment calculer le coefficient binomial ?
« k parmi n » vaut n ! / (k ! · (n−k) !) et c'est la même chose que les combinaisons de n éléments pris k à k. La symétrie C(n ; k) = C(n ; n−k) réduit souvent les calculs de moitié.
Combien d'anagrammes a un mot à lettres répétées ?
On divise la factorielle du nombre total de lettres par le produit des factorielles des répétitions. Pour un mot de 10 lettres dont une apparaît trois fois et deux autres deux fois chacune : 10!/(3!·2!·2!) = 151 200.
Comment fonctionne ce calcul
Factorielle : n ! = n·(n−1)·…·2·1, avec 0 ! = 1. Permutations simples de n éléments : Pₙ = n !. Permutations avec répétition, avec des éléments répétés n₁, n₂, … fois : n !/(n₁ !·n₂ !·…). Arrangements sans répétition : A(n ; k) = n !/(n−k) ! = n·(n−1)·…·(n−k+1), exige k ≤ n. Arrangements avec répétition : A′(n ; k) = nᵏ, sans contrainte entre n et k. Combinaisons, c'est-à-dire coefficient binomial : C(n ; k) = n !/(k !·(n−k) !), avec C(n ; k) = C(n ; n−k). Combinaisons avec répétition : C′(n ; k) = C(n+k−1 ; k). Les décomptes sont effectués en arithmétique entière exacte, car au-delà de 20 ! les nombres dépassent la précision des décimaux en virgule flottante.