Calcolo probabilità: classica, condizionata, Bayes e binomiale

Le regole e quando si applicano

La definizione classica — casi favorevoli su casi possibili — vale solo se tutti i casi sono equiprobabili. È il motivo per cui funziona con dadi e mazzi di carte e non con «domani piove o non piove»: quei due casi non sono equiprobabili, e contarli come due su due darebbe il 50% a qualunque evento.

Unione e intersezione sono le due operazioni di base. Per l'unione si sommano le probabilità e si sottrae l'intersezione, perché i casi in comune verrebbero altrimenti contati due volte. Per l'intersezione si moltiplica, ma solo se gli eventi sono indipendenti: estrarre due assi da un mazzo senza reimbussolamento non è un evento indipendente, e moltiplicare 4/52 per 4/52 dà il risultato sbagliato.

Il teorema di Bayes è il più controintuitivo e il più utile. Nella forma del test diagnostico mostra perché un test accurato al 99% su una malattia rara dia comunque moltissimi falsi allarmi: se la malattia colpisce una persona su cento e il test sbaglia nel 5% dei sani, su diecimila persone i malati individuati sono circa novantanove ma i sani erroneamente positivi sono quasi cinquecento. La probabilità di essere davvero malati dopo un test positivo è quindi intorno al 17%, non al 99%.

Errori frequenti

Moltiplicare le probabilità di eventi non indipendenti: se l'esito del primo evento cambia le condizioni del secondo, serve la probabilità condizionata e non il semplice prodotto.
Inserire le percentuali al posto delle frazioni: la probabilità del 25% si scrive 0,25. Un valore maggiore di 1 non è una probabilità.
Scambiare P(A|B) con P(B|A) nel teorema di Bayes: la probabilità di essere malati dato un test positivo è molto diversa dalla probabilità che il test risulti positivo essendo malati. È l'errore su cui il teorema è costruito.

Domande frequenti

Come si calcola la probabilità di due eventi indipendenti?

Si moltiplicano le due probabilità: P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Vale solo se gli eventi sono indipendenti, cioè se il verificarsi dell'uno non modifica la probabilità dell'altro.

Come si calcola la probabilità che si verifichi almeno uno di due eventi?

Con la formula dell'unione: P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Per eventi indipendenti si può anche passare dal complemento: 1 meno la probabilità che non si verifichi nessuno dei due.

Che cos'è la probabilità condizionata?

È la probabilità di A sapendo che B si è verificato, e vale P(A ∩ B)/P(B). Sapere che B è avvenuto restringe lo spazio dei casi possibili, quindi si divide per la probabilità di B.

Quando si usa la distribuzione binomiale?

Quando si ripete n volte la stessa prova indipendente con due soli esiti e probabilità di successo costante, e si vuole sapere quanto è probabile ottenere esattamente k successi. Lanci di moneta, tiri liberi, controlli di qualità su un lotto.

Come funziona questo calcolo

Probabilità classica: P = casi favorevoli / casi possibili, valida con casi equiprobabili. Complemento: P(non A) = 1 − P(A). Unione: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Intersezione di eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B); almeno uno dei due: 1 − (1−P(A))·(1−P(B)). Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B), definita per P(B) > 0. Teorema di Bayes: P(A|B) = P(B|A)·P(A) / [P(B|A)·P(A) + P(B|¬A)·P(¬A)], dove il denominatore è la probabilità totale dell'evidenza. Distribuzione binomiale: P(X = k) = C(n; k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ, con valore atteso n·p e varianza n·p·(1−p).

Calcolo combinatorio

Fattoriale, permutazioni, disposizioni, combinazioni e coefficiente binomiale.

Progressioni

Progressioni aritmetiche e geometriche, termine n-esimo e somme.

Statistica descrittiva

Media, mediana, moda, deviazione standard, quartili e distribuzione di frequenza.

Media dei voti

Media semplice e ponderata, e voto necessario per l'obiettivo.