Matemáticas
Calculadora de cálculo combinatorio
Elige el tipo de agrupación, introduce n y k, y obtén el recuento exacto con la fórmula aplicada a tus números. Si no sabes cuál elegir, la guía de abajo parte de las dos preguntas que bastan para decidirlo.
Qué fórmula usar: bastan dos preguntas
El cálculo combinatorio tiene seis fórmulas que se confunden con facilidad, pero para elegir la correcta solo hacen falta dos preguntas. Primera: ¿importa el orden? Si intercambiar dos elementos produce una agrupación distinta —una clasificación, una contraseña, una secuencia— el orden importa y se habla de variaciones o permutaciones; si no lo produce —un equipo, una mano de cartas, un conjunto de números— se habla de combinaciones. Segunda: ¿puede un elemento aparecer varias veces? Si es así, se usa la variante «con repetición».
La diferencia entre variaciones y permutaciones es solo cuántos elementos se toman: las permutaciones son el caso en que se usan todos los n elementos, así que son las variaciones con k = n, y el recuento se reduce a n!. Las combinaciones se obtienen en cambio de las variaciones dividiendo entre k!, que es el número de maneras en que los k elementos elegidos podrían reordenarse: dividir entre ese número es exactamente lo que significa «el orden no importa».
El coeficiente binomial «n sobre k» no es una fórmula distinta de las combinaciones: es la misma, con otro nombre y otra notación. Aparece en el desarrollo de la potencia de un binomio y en el triángulo de Tartaglia, donde cada fila enumera las combinaciones de n elementos tomados de 0, 1, 2… n en n. Es también la razón por la que C(n; k) = C(n; n−k): elegir quién entra equivale a elegir quién se queda fuera.
Errores frecuentes
- Usar variaciones donde hacen falta combinaciones: si el ejercicio pregunta cuántos equipos de 5 con 12 jugadores, el orden no importa y la respuesta es C(12; 5) = 792, no V(12; 5) = 95.040. El segundo número es 120 veces mayor, es decir 5!.
- Olvidar que en las variaciones con repetición k puede superar a n: con 26 letras se forman contraseñas de 8 caracteres, y 26⁸ está perfectamente definido. La restricción k ≤ n solo vale sin repetición.
- Calcular los anagramas de una palabra con letras repetidas como un simple factorial: MATEMÁTICAS tiene 11 letras, pero 11! cuenta como distintas las permutaciones de las tres A entre sí. Hay que dividir entre 3!·2!·2!.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre variaciones y combinaciones?
En las variaciones el orden importa, en las combinaciones no. Con tres letras A, B, C las variaciones de dos elementos son seis (AB, BA, AC, CA, BC, CB), las combinaciones son tres (AB, AC, BC). Las combinaciones se obtienen de las variaciones dividiendo entre k!.
¿Por qué 0! vale 1?
Porque hay exactamente una manera de ordenar cero objetos: no hacer nada. El convenio no es arbitrario, es el que mantiene coherentes todas las fórmulas: sin él C(n; 0) y C(n; n) no valdrían 1 como deben.
¿Cómo se calcula el coeficiente binomial?
«n sobre k» vale n! / (k! · (n−k)!) y es lo mismo que las combinaciones de n elementos tomados de k en k. Se cumple la simetría C(n; k) = C(n; n−k), que a menudo reduce a la mitad las cuentas.
¿Cuántos anagramas tiene una palabra con letras repetidas?
Se divide el factorial del número total de letras entre el producto de los factoriales de las repeticiones. MATEMÁTICAS tiene 11 letras con A tres veces, M dos y T dos: 11!/(3!·2!·2!) = 1.663.200.
Cómo funciona este cálculo
Factorial: n! = n·(n−1)·…·2·1, con 0! = 1. Permutaciones simples de n elementos: Pₙ = n!. Permutaciones con repetición, con elementos repetidos n₁, n₂, … veces: n!/(n₁!·n₂!·…). Variaciones sin repetición: V(n; k) = n!/(n−k)! = n·(n−1)·…·(n−k+1), exige k ≤ n. Variaciones con repetición: V′(n; k) = nᵏ, sin restricción entre n y k. Combinaciones, es decir coeficiente binomial: C(n; k) = n!/(k!·(n−k)!), con C(n; k) = C(n; n−k). Combinaciones con repetición: C′(n; k) = C(n+k−1; k). Los recuentos se realizan en aritmética entera exacta, porque más allá de 20! los números superan la precisión de los decimales en coma flotante.