Matematica
Progressioni aritmetiche e geometriche
Inserisci primo termine, ragione e numero di termini: ottieni il termine n-esimo, la somma parziale e l'elenco dei termini. Per le geometriche convergenti compare anche la somma infinita.
Sommare e moltiplicare: due modi di procedere
Una progressione aritmetica avanza per addizioni: ogni termine è il precedente più una costante, la ragione. Una progressione geometrica avanza per moltiplicazioni: ogni termine è il precedente per una costante. Da questa sola differenza discende tutto il resto, compreso il fatto che le prime crescono in modo lineare e le seconde in modo esponenziale — motivo per cui una progressione geometrica anche con ragione modesta supera rapidamente qualunque aritmetica.
La somma dei primi n termini di una progressione aritmetica si calcola con il trucco attribuito a Gauss: si accoppia il primo termine con l'ultimo, il secondo con il penultimo, e così via. Ogni coppia dà la stessa somma, e le coppie sono n/2, quindi il totale è n volte la media fra primo e ultimo termine. Non serve sommare a uno a uno nemmeno per mille termini.
La somma di una progressione geometrica ha una formula diversa ma un'origine altrettanto semplice: moltiplicando la somma per la ragione e sottraendo, quasi tutti i termini si elidono e ne restano due. Quando la ragione è in valore assoluto minore di uno i termini diventano sempre più piccoli, e la somma di infiniti termini converge a un numero finito — il risultato che rende possibile il calcolo delle rendite perpetue e la soluzione dei paradossi di Zenone.
Errori frequenti
- Usare n invece di n−1 nell'esponente o nel prodotto del termine n-esimo: il primo termine corrisponde a zero passi, non a uno. Per il decimo termine si somma nove volte la ragione, non dieci.
- Applicare la formula della somma geometrica con ragione uguale a 1: in quel caso il denominatore si annulla e la somma è semplicemente n volte il primo termine.
- Credere che ogni serie infinita converga: la somma infinita esiste solo per le geometriche con ragione compresa fra −1 e 1. Con ragione 2 la somma cresce senza limite.
Domande frequenti
Qual è la formula del termine n-esimo?
Per una progressione aritmetica aₙ = a₁ + (n−1)·d. Per una geometrica aₙ = a₁ · q^(n−1). In entrambi i casi l'esponente o il moltiplicatore è n−1, perché dal primo termine al n-esimo ci sono n−1 passi.
Come si calcola la somma dei primi n termini?
Aritmetica: Sₙ = n·(a₁ + aₙ)/2, cioè il numero di termini per la media fra il primo e l'ultimo. Geometrica: Sₙ = a₁·(1 − qⁿ)/(1 − q), valida per q diverso da 1.
Quando una serie geometrica converge?
Quando la ragione è in valore assoluto minore di 1. In quel caso la somma degli infiniti termini vale a₁/(1 − q). Con ragione 1/2 e primo termine 1 la somma infinita è esattamente 2.
A cosa servono le progressioni geometriche in finanza?
Il montante di un capitale a interesse composto è una progressione geometrica di ragione 1 + i, e il valore attuale di una rendita è la somma di una progressione geometrica. Le rendite perpetue sono proprio il caso della serie convergente.
Come funziona questo calcolo
Progressione aritmetica di primo termine a₁ e ragione d: termine n-esimo aₙ = a₁ + (n−1)d; somma dei primi n termini Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 = n[2a₁ + (n−1)d]/2. Progressione geometrica di primo termine a₁ e ragione q: termine n-esimo aₙ = a₁·q^(n−1); somma dei primi n termini Sₙ = a₁(1 − qⁿ)/(1 − q) per q ≠ 1, e Sₙ = n·a₁ per q = 1. Serie geometrica infinita: converge se |q| < 1 e vale S = a₁/(1 − q); diverge altrimenti. Proprietà: in una progressione aritmetica ogni termine è la media aritmetica dei due adiacenti; in una geometrica è la loro media geometrica.