Matematyka
Kalkulator kombinatoryczny
Wybierz rodzaj układu, podaj n i k, a otrzymasz dokładną liczbę wraz ze wzorem zastosowanym do twoich liczb. Jeśli nie wiesz, co wybrać, poradnik poniżej zaczyna od dwóch pytań, które wystarczą do rozstrzygnięcia.
Który wzór wybrać: wystarczą dwa pytania
Kombinatoryka ma sześć łatwych do pomylenia wzorów, ale do wyboru właściwego wystarczą dwa pytania. Po pierwsze: czy kolejność ma znaczenie? Jeśli zamiana dwóch elementów daje inny układ — klasyfikacja, hasło, ciąg — kolejność ma znaczenie i mówimy o wariacjach lub permutacjach; jeśli nie daje — drużyna, rozdanie kart, zbiór liczb — mówimy o kombinacjach. Po drugie: czy element może wystąpić kilka razy? Jeśli tak, stosuje się wariant „z powtórzeniami".
Różnica między wariacjami a permutacjami sprowadza się tylko do tego, ile elementów bierzemy: permutacje to przypadek, w którym używa się wszystkich n elementów, są więc wariacjami przy k = n, a wynik redukuje się do n!. Kombinacje otrzymuje się natomiast z wariacji, dzieląc przez k!, czyli liczbę sposobów przestawienia k wybranych elementów: dzielenie przez tę liczbę to dokładnie to, co znaczy „kolejność nie ma znaczenia".
Symbol Newtona „n po k" nie jest wzorem odmiennym od kombinacji: to ten sam wzór pod inną nazwą i w innym zapisie. Pojawia się w rozwinięciu potęgi dwumianu i w trójkącie Pascala, gdzie każdy wiersz wypisuje kombinacje n elementów branych po 0, 1, 2… n. To również powód, dla którego C(n; k) = C(n; n−k): wybrać, kto wchodzi, to to samo, co wybrać, kto zostaje poza.
Częste błędy
- Stosowanie wariacji tam, gdzie potrzebne są kombinacje: jeśli zadanie pyta, ile drużyn po 5 z 12 zawodników, kolejność nie ma znaczenia i odpowiedź to C(12; 5) = 792, a nie W(12; 5) = 95 040. Druga liczba jest 120 razy większa, czyli 5!.
- Zapominanie, że w wariacjach z powtórzeniami k może przekraczać n: z 26 liter tworzy się hasła 8-znakowe, a 26⁸ jest doskonale określone. Warunek k ≤ n obowiązuje tylko bez powtórzeń.
- Liczenie anagramów słowa z powtarzającymi się literami jako zwykłej silni: MATEMATYKA ma 10 liter, ale 10! liczy przestawienia trzech liter A jako różne. Trzeba podzielić przez 3!·2!·2!.
Najczęstsze pytania
Jaka jest różnica między wariacjami a kombinacjami?
W wariacjach kolejność ma znaczenie, w kombinacjach nie. Z trzech liter A, B, C wariacji dwuelementowych jest sześć (AB, BA, AC, CA, BC, CB), a kombinacji trzy (AB, AC, BC). Kombinacje otrzymuje się z wariacji przez podzielenie przez k!.
Dlaczego 0! równa się 1?
Bo istnieje dokładnie jeden sposób uporządkowania zera obiektów: nie robić nic. Umowa nie jest dowolna — to ona utrzymuje spójność wszystkich wzorów: bez niej C(n; 0) i C(n; n) nie byłyby równe 1, a muszą.
Jak obliczyć symbol Newtona?
„n po k" równa się n! / (k! · (n−k)!) i jest tym samym, co kombinacje n elementów po k. Zachodzi symetria C(n; k) = C(n; n−k), która często skraca rachunki o połowę.
Ile anagramów ma słowo z powtarzającymi się literami?
Dzieli się silnię łącznej liczby liter przez iloczyn silni powtórzeń. MATEMATYKA ma 10 liter, w tym A trzy razy, M dwa i T dwa: 10!/(3!·2!·2!) = 151 200.
Jak działa to obliczenie
Silnia: n! = n·(n−1)·…·2·1, przy czym 0! = 1. Permutacje n elementów: Pₙ = n!. Permutacje z powtórzeniami, gdy elementy powtarzają się n₁, n₂, … razy: n!/(n₁!·n₂!·…). Wariacje bez powtórzeń: W(n; k) = n!/(n−k)! = n·(n−1)·…·(n−k+1), wymaga k ≤ n. Wariacje z powtórzeniami: W′(n; k) = nᵏ, bez warunku między n a k. Kombinacje, czyli symbol Newtona: C(n; k) = n!/(k!·(n−k)!), przy czym C(n; k) = C(n; n−k). Kombinacje z powtórzeniami: C′(n; k) = C(n+k−1; k). Obliczenia prowadzone są w dokładnej arytmetyce całkowitej, bo powyżej 20! liczby przekraczają precyzję liczb zmiennoprzecinkowych.