Matemática
Calculadora de análise combinatória
Escolha o tipo de agrupamento, informe n e k e obtenha a contagem exata com a fórmula aplicada aos seus números. Se não tiver certeza de qual escolher, o guia abaixo parte das duas perguntas que decidem.
Qual fórmula usar: duas perguntas bastam
A análise combinatória tem seis fórmulas fáceis de confundir, mas escolher a certa exige só duas perguntas. Primeira: a ordem importa? Se trocar dois elementos produz um agrupamento diferente — uma classificação, uma senha, uma sequência —, a ordem importa e você está diante de arranjos ou permutações; se não produz — um time, uma mão de cartas, um conjunto de números —, está diante de combinações. Segunda: um elemento pode aparecer mais de uma vez? Se sim, use a variante “com repetição”.
A diferença entre arranjos e permutações é só quantos elementos se tomam: as permutações são o caso em que todos os n elementos são usados, então são arranjos com k = n e a contagem se reduz a n!. As combinações saem dos arranjos dividindo por k!, o número de maneiras de reordenar os k elementos escolhidos: dividir por esse número é exatamente o que significa “a ordem não importa”.
O coeficiente binomial “n escolhe k” não é uma fórmula diferente das combinações: é a mesma com outro nome e outra notação. Aparece no desenvolvimento da potência de um binômio e no triângulo de Pascal, em que cada linha lista as combinações de n elementos tomados 0, 1, 2… n de cada vez. É também por isso que C(n; k) = C(n; n−k): escolher quem entra é o mesmo que escolher quem fica de fora.
Erros frequentes
- Usar arranjos onde são necessárias combinações: se o exercício pergunta quantos times de 5 com 12 jogadores, a ordem não importa e a resposta é C(12; 5) = 792, não A(12; 5) = 95.040. O segundo número é 120 vezes maior, ou seja, 5!.
- Esquecer que nos arranjos com repetição k pode passar de n: 26 letras formam senhas de 8 caracteres, e 26⁸ é perfeitamente definido. A restrição k ≤ n só vale sem repetição.
- Contar os anagramas de uma palavra com letras repetidas como um simples fatorial: MATEMATICA tem 10 letras, mas 10! conta como diferentes as trocas dos dois M entre si. É preciso dividir pelos fatoriais das repetições.
Perguntas frequentes
Qual a diferença entre arranjos e combinações?
Nos arranjos a ordem importa, nas combinações não. Com três letras A, B, C os arranjos de dois elementos são seis (AB, BA, AC, CA, BC, CB), as combinações são três (AB, AC, BC). As combinações saem dos arranjos dividindo por k!.
Por que 0! é igual a 1?
Porque há exatamente uma maneira de ordenar zero objetos: não fazer nada. A convenção não é arbitrária, é o que mantém todas as fórmulas coerentes: sem ela C(n; 0) e C(n; n) não seriam iguais a 1, como devem ser.
Como se calcula o coeficiente binomial?
“n escolhe k” vale n! / (k! · (n−k)!) e é a mesma coisa que as combinações de n elementos tomados k a k. A simetria C(n; k) = C(n; n−k) muitas vezes corta o trabalho pela metade.
Quantos anagramas tem uma palavra com letras repetidas?
Divida o fatorial do número total de letras pelo produto dos fatoriais das repetições. MATEMATICA tem 10 letras, com M e T duas vezes cada e A três vezes: 10!/(2!·3!·2!) = 151.200.
Como funciona este cálculo
Fatorial: n! = n·(n−1)·…·2·1, com 0! = 1. Permutações de n elementos: Pₙ = n!. Permutações com repetição, com elementos que se repetem n₁, n₂, … vezes: n!/(n₁!·n₂!·…). Arranjos sem repetição: A(n; k) = n!/(n−k)! = n·(n−1)·…·(n−k+1), exige k ≤ n. Arranjos com repetição: A′(n; k) = nᵏ, sem restrição entre n e k. Combinações, ou seja, o coeficiente binomial: C(n; k) = n!/(k!·(n−k)!), com C(n; k) = C(n; n−k). Combinações com repetição: C′(n; k) = C(n+k−1; k). As contagens são feitas em aritmética inteira exata, porque acima de 20! os números passam da precisão dos decimais em ponto flutuante.