Matematica
Calcolatrice di logaritmi ed esponenziali
Logaritmo in base qualsiasi, equazioni esponenziali, antilogaritmo e cambio di base: quattro letture della stessa relazione fra potenza ed esponente.
Il logaritmo è un esponente
Scrivere log₂(32) = 5 e scrivere 2⁵ = 32 significa dire la stessa cosa. Il logaritmo non è un'operazione nuova: è la domanda inversa dell'elevamento a potenza, così come la sottrazione è l'inversa dell'addizione. Tenere presente questa equivalenza risolve da sola metà degli esercizi, perché permette di passare in qualunque momento dalla forma logaritmica a quella esponenziale.
Le condizioni di esistenza discendono direttamente da lì. L'argomento deve essere positivo perché una potenza a base positiva non dà mai zero né un numero negativo. La base deve essere positiva e diversa da uno: con base uno ogni potenza varrebbe uno, quindi la domanda «a quale esponente» non avrebbe una risposta unica. Non sono restrizioni arbitrarie da memorizzare ma conseguenze di come la potenza funziona.
Il cambio di base è la formula che rende tutto calcolabile: log_b(x) = ln(x)/ln(b). Serve perché calcolatrici e linguaggi di programmazione implementano solo il logaritmo naturale e quello decimale, e ogni altra base si ottiene con una divisione. È anche il motivo per cui i grafici dei logaritmi in basi diverse hanno tutti la stessa forma e differiscono solo per un fattore di scala verticale.
Errori frequenti
- Trattare il logaritmo di una somma come la somma dei logaritmi: log(a + b) non è log a + log b. La proprietà vale per il prodotto: log(a·b) = log a + log b.
- Dimenticare le condizioni di esistenza nelle equazioni logaritmiche: le soluzioni trovate vanno sempre verificate, perché una di esse può rendere negativo l'argomento e va quindi scartata.
- Confondere le notazioni: in molti testi italiani log senza indice significa base 10, in matematica avanzata e nei linguaggi di programmazione significa base e. Se il contesto non è chiaro conviene scrivere l'indice.
Domande frequenti
Che cos'è un logaritmo?
È l'esponente a cui elevare la base per ottenere l'argomento. log₂(32) = 5 perché 2 elevato alla 5 fa 32. Logaritmo e potenza sono la stessa relazione letta dai due lati.
Come si risolve un'equazione esponenziale come 3ˣ = 81?
Si applica il logaritmo a entrambi i membri: x = log₃(81) = 4. Quando l'argomento è una potenza esatta della base si può anche riconoscere direttamente che 81 = 3⁴.
Qual è la formula del cambio di base?
log_b(x) = log_k(x) / log_k(b), per qualunque nuova base k positiva e diversa da 1. Nella pratica si usa k = e oppure k = 10, perché sono le basi che le calcolatrici conoscono.
Perché l'argomento del logaritmo deve essere positivo?
Perché una potenza con base positiva è sempre positiva: non esiste alcun esponente che renda 2 elevato a x uguale a zero o a un numero negativo. Per questo il dominio del logaritmo è l'insieme dei reali positivi.
Come funziona questo calcolo
Definizione: log_b(x) = y equivale a bʸ = x, con b > 0, b ≠ 1 e x > 0. Cambio di base: log_b(x) = ln(x)/ln(b) = log₁₀(x)/log₁₀(b). Proprietà: log(a·b) = log a + log b; log(a/b) = log a − log b; log(aⁿ) = n·log a; log_b(b) = 1; log_b(1) = 0. Equazione esponenziale bˣ = y: x = log_b(y) = ln y / ln b. Antilogaritmo: dato log_b(x) = y, si ha x = bʸ. Basi ricorrenti: e ≈ 2,71828 per il logaritmo naturale ln, 10 per il logaritmo decimale, 2 per il logaritmo binario usato in informatica.
Calcoli collegati
Equazioni di primo e secondo grado
Radici, discriminante, vertice e scomposizione di ax² + bx + c = 0.
Regola di Ruffini
Divide un polinomio per (x − a) e lo scompone in fattori.
Radicali
Semplificazione delle radici e razionalizzazione del denominatore.
Notazione scientifica
Notazione scientifica e ingegneristica, cifre significative e arrotondamento di qualsiasi numero.