Calcul de logarithmes et équations exponentielles

Le logarithme est un exposant

Écrire log₂(32) = 5 et écrire 2⁵ = 32 revient à dire la même chose. Le logarithme n'est pas une opération nouvelle : c'est la question inverse de l'élévation à une puissance, comme la soustraction est l'inverse de l'addition. Garder cette équivalence en tête résout à elle seule la moitié des exercices, car elle permet de passer à tout moment de la forme logarithmique à la forme exponentielle.

Les conditions d'existence en découlent directement. L'argument doit être positif parce qu'une puissance de base positive ne donne jamais zéro ni un nombre négatif. La base doit être positive et différente de un : avec la base un, toute puissance vaudrait un, et la question « à quel exposant » n'aurait pas de réponse unique. Ce ne sont pas des restrictions arbitraires à mémoriser, mais des conséquences du fonctionnement des puissances.

Le changement de base est la formule qui rend tout calculable : log_b(x) = ln(x)/ln(b). Elle est nécessaire parce que les calculatrices et les langages de programmation n'implémentent que le logarithme népérien et le décimal, et que toute autre base s'obtient par une division. C'est aussi pourquoi les courbes des logarithmes de bases différentes ont toutes la même forme et ne diffèrent que par un facteur d'échelle vertical.

Erreurs fréquentes

Traiter le logarithme d'une somme comme la somme des logarithmes : log(a + b) n'est pas log a + log b. La propriété vaut pour le produit : log(a·b) = log a + log b.
Oublier les conditions d'existence dans les équations logarithmiques : les solutions trouvées doivent toujours être vérifiées, car l'une d'elles peut rendre l'argument négatif et doit alors être écartée.
Confondre les notations : dans beaucoup de manuels, log sans indice signifie base 10, tandis qu'en mathématiques avancées et dans les langages de programmation il signifie base e. Quand le contexte est ambigu, mieux vaut écrire l'indice.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un logarithme ?

C'est l'exposant auquel il faut élever la base pour obtenir l'argument. log₂(32) = 5 parce que 2 puissance 5 fait 32. Logarithme et puissance sont la même relation lue des deux côtés.

Comment résoudre une équation exponentielle comme 3ˣ = 81 ?

On applique le logarithme aux deux membres : x = log₃(81) = 4. Quand l'argument est une puissance exacte de la base, on peut aussi reconnaître directement que 81 = 3⁴.

Quelle est la formule du changement de base ?

log_b(x) = log_k(x) / log_k(b), pour toute nouvelle base k positive et différente de 1. En pratique on prend k = e ou k = 10, car ce sont les bases que connaissent les calculatrices.

Pourquoi l'argument du logarithme doit-il être positif ?

Parce qu'une puissance de base positive est toujours positive : aucun exposant ne rend 2 puissance x égal à zéro ou à un nombre négatif. C'est pourquoi le domaine du logarithme est l'ensemble des réels strictement positifs.

Comment fonctionne ce calcul

Définition : log_b(x) = y équivaut à bʸ = x, avec b > 0, b ≠ 1 et x > 0. Changement de base : log_b(x) = ln(x)/ln(b) = log₁₀(x)/log₁₀(b). Propriétés : log(a·b) = log a + log b ; log(a/b) = log a − log b ; log(aⁿ) = n·log a ; log_b(b) = 1 ; log_b(1) = 0. Équation exponentielle bˣ = y : x = log_b(y) = ln y / ln b. Antilogarithme : de log_b(x) = y on tire x = bʸ. Bases courantes : e ≈ 2,71828 pour le logarithme népérien ln, 10 pour le décimal, 2 pour le binaire utilisé en informatique.

Équations du premier et du second degré

Racines, discriminant, sommet et forme factorisée de ax² + bx + c = 0.

Schéma de Horner

Divise un polynôme par (x − a) et le factorise.

Radicaux

Simplification des racines et rationalisation du dénominateur.

Notation scientifique

Notation scientifique et ingénieur, chiffres significatifs et arrondi de n'importe quel nombre.