Matematica
Semplificazione dei radicali
Semplifica una radice di qualunque indice portando fuori i fattori, oppure razionalizza un denominatore. La scomposizione in fattori primi è mostrata accanto al risultato.
Che cosa significa semplificare una radice
Semplificare un radicale vuol dire portare fuori dal segno di radice tutto ciò che può uscirne, lasciando dentro il meno possibile. La regola operativa è una sola: si scompone il radicando in fattori primi e ogni gruppo completo di fattori uguali, tanti quanti l'indice, esce diventando un singolo fattore. Per √72 la scomposizione è 2³·3², il 2² e il 3² escono come 2 e 3, e resta dentro un 2: il risultato è 6√2.
La forma semplificata non è una questione estetica. Rende immediato il confronto fra radicali — √72 e 6√2 sono lo stesso numero, ma solo la seconda forma si somma con altri multipli di √2 — e riduce gli errori di arrotondamento, perché si lavora con numeri più piccoli fino all'ultimo passaggio.
La razionalizzazione risolve un problema diverso: togliere la radice dal denominatore. Si moltiplica numeratore e denominatore per la stessa radice, che equivale a moltiplicare per uno e quindi non cambia il valore, ma trasforma √c · √c in c. Storicamente serviva perché dividere per un irrazionale a mano è scomodo; oggi resta perché la forma razionalizzata è quella canonica e perché rende visibili semplificazioni altrimenti nascoste.
Errori frequenti
- Distribuire la radice su una somma: √(a + b) non è √a + √b. La radice si distribuisce sul prodotto e sul quoziente, mai sulla somma.
- Portare fuori un fattore che non forma un gruppo completo: da √12 = √(2²·3) esce solo il 2, non il 3. Il 3 compare una volta sola e l'indice è due.
- Dimenticare il valore assoluto semplificando √(x²): il risultato è |x|, non x, perché la radice quadrata restituisce sempre un valore non negativo.
Domande frequenti
Come si semplifica una radice quadrata?
Si scompone il radicando in fattori primi e si porta fuori un fattore per ogni coppia di fattori uguali. Per √72 = √(2³·3²) escono 2 e 3, resta dentro 2: si ottiene 6√2.
Come si razionalizza un denominatore?
Si moltiplicano numeratore e denominatore per la radice presente al denominatore. Da 3/(2√5) si passa a 3√5/(2·5) = 3√5/10, dove il denominatore è ora un numero intero.
Si può calcolare la radice di un numero negativo?
Con indice dispari sì, e il risultato è negativo: la radice cubica di −8 è −2. Con indice pari no, almeno non nei numeri reali, perché nessun numero elevato a potenza pari dà un risultato negativo.
Che differenza c'è fra radice e potenza con esponente frazionario?
Nessuna: sono due notazioni della stessa operazione. La radice n-esima di a si scrive anche a^(1/n), e questa forma rende evidenti tutte le proprietà, perché diventano le normali regole delle potenze.
Come funziona questo calcolo
Semplificazione: scomposto il radicando in fattori primi come p₁^e₁ · p₂^e₂ · …, ogni primo esce dalla radice elevato alla parte intera di eᵢ/n e resta dentro elevato al resto di eᵢ/n, dove n è l'indice. Notazione con esponente frazionario: ⁿ√(a^m) = a^(m/n). Proprietà: ⁿ√(a·b) = ⁿ√a · ⁿ√b e ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b; non esiste una proprietà analoga per la somma. Razionalizzazione del denominatore nella forma a/(b·√c): si moltiplica sopra e sotto per √c ottenendo (a·√c)/(b·c), poi si semplifica la frazione. Radice di indice pari: definita nei reali solo per radicando non negativo; radice di indice dispari: definita per ogni radicando reale, con il segno che esce dalla radice.