Matematica
Calcolatrice di equazioni di primo e secondo grado
Inserisci i coefficienti di ax² + bx + c = 0 e ottieni le radici, il discriminante, il vertice della parabola e la scomposizione in fattori.
Come si risolvono queste equazioni
Un'equazione di primo grado, bx + c = 0, ha sempre esattamente una soluzione quando b è diverso da zero: x = −c/b. I due casi limite sono istruttivi. Se b e c sono entrambi nulli l'uguaglianza è vera per qualunque x e l'equazione si dice indeterminata; se b è nullo ma c no, nessun valore la soddisfa e l'equazione è impossibile.
Per il secondo grado la formula risolutiva è x = (−b ± √Δ) / 2a, dove Δ = b² − 4ac è il discriminante. È il segno di Δ a decidere tutto: positivo dà due radici reali distinte, nullo una radice doppia, negativo due radici complesse coniugate, della forma p ± qi. Nel piano cartesiano la lettura è immediata: Δ è il numero di intersezioni fra la parabola y = ax² + bx + c e l'asse delle x.
Attorno alle radici ruotano altre informazioni utili. Le relazioni di Viète dicono che la somma delle radici vale −b/a e il prodotto c/a: sono un ottimo controllo a mano del risultato. Il vertice della parabola sta in x = −b/2a, esattamente a metà fra le due radici quando queste sono reali, e la sua ordinata dice se la parabola tocca, taglia o evita l'asse. Quando le radici sono reali si può scrivere la forma scomposta a(x − x₁)(x − x₂), che è la stessa equazione riletta come prodotto di fattori.
Esempio numerico: x² − 3x + 2 = 0. Il discriminante è 9 − 8 = 1, positivo, quindi ci sono due radici reali: x = (3 ± 1) / 2, cioè 1 e 2. La somma è 3, che coincide con −b/a, e il prodotto è 2, cioè c/a. Il vertice sta in x = 1,5 con ordinata −0,25, e la forma scomposta è (x − 1)(x − 2).
Errori comuni
- Dimenticare il segno meno davanti a b nella formula risolutiva: è l'errore più frequente quando b è già negativo, perché i due segni si annullano.
- Calcolare il discriminante come b² − 4c, tralasciando il coefficiente a: la formula corretta è b² − 4ac.
- Concludere che un'equazione non ha soluzioni quando il discriminante è negativo: non ne ha di reali, ma ne ha due complesse coniugate.
- Dividere per a senza verificare che sia diverso da zero: con a nullo l'equazione è di primo grado e la formula risolutiva non si applica.
- Scrivere la forma scomposta come a(x + x₁)(x + x₂): i segni delle radici vanno invertiti, perché i fattori sono (x − x₁) e (x − x₂).
Domande frequenti
Qual è la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado?
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a, valida quando a è diverso da zero. La quantità sotto radice è il discriminante Δ, e il suo segno determina quante e di che tipo sono le soluzioni.
Che cosa indica il discriminante?
Δ = b² − 4ac indica il numero di soluzioni reali: se è positivo ce ne sono due distinte, se è zero una sola contata due volte, se è negativo nessuna reale ma due complesse coniugate. Geometricamente conta le intersezioni della parabola con l'asse x.
Che cosa succede se il coefficiente a è zero?
L'equazione non è più di secondo grado ma di primo, bx + c = 0, e la soluzione è x = −c/b. La calcolatrice riconosce il caso da sola e passa alla formula corretta invece di dividere per zero.
Come si trova il vertice della parabola?
L'ascissa del vertice è x = −b/2a e l'ordinata si ottiene sostituendo quel valore nell'equazione. Quando le radici sono reali il vertice sta esattamente a metà fra le due, perché la parabola è simmetrica rispetto a quella verticale.
Che cosa sono le relazioni di Viète?
Legano i coefficienti alle radici senza risolvere l'equazione: la somma delle radici vale −b/a e il prodotto c/a. Sono un modo rapido per verificare un risultato, o per ricostruire un'equazione a partire dalle sue soluzioni.
Come funziona questo calcolo
Primo grado: da bx + c = 0 segue x = −c/b. Secondo grado: Δ = b² − 4ac e x = (−b ± √Δ) / 2a. Con Δ < 0 le radici sono (−b / 2a) ± (√(−Δ) / 2a)i. Il vertice sta in x = −b/2a, con ordinata ottenuta sostituendo. Somma e prodotto delle radici valgono −b/a e c/a. Per evitare la perdita di precisione quando −b e √Δ quasi si elidono, la calcolatrice ricava una radice dalla formula e l'altra dal prodotto c/a.