Mathematik
Rechner für Logarithmen und Exponentialgleichungen
Logarithmus zu jeder Basis, Exponentialgleichungen, Numerus und Basiswechsel: vier Lesarten derselben Beziehung zwischen Potenz und Exponent.
Der Logarithmus ist ein Exponent
log₂(32) = 5 zu schreiben und 2⁵ = 32 zu schreiben bedeutet dasselbe. Der Logarithmus ist keine neue Operation: er ist die Umkehrfrage zum Potenzieren, so wie die Subtraktion die Umkehrung der Addition ist. Diese Gleichwertigkeit im Kopf zu behalten löst schon die Hälfte der Aufgaben, denn sie erlaubt jederzeit den Wechsel von der logarithmischen in die exponentielle Form.
Die Existenzbedingungen folgen unmittelbar daraus. Das Argument muss positiv sein, weil eine Potenz mit positiver Basis nie null oder negativ wird. Die Basis muss positiv und von eins verschieden sein: bei Basis eins wäre jede Potenz eins, die Frage „mit welchem Exponenten" hätte also keine eindeutige Antwort. Das sind keine willkürlichen Regeln zum Auswendiglernen, sondern Folgen davon, wie Potenzen funktionieren.
Der Basiswechsel ist die Formel, die alles berechenbar macht: log_b(x) = ln(x)/ln(b). Sie wird gebraucht, weil Taschenrechner und Programmiersprachen nur den natürlichen und den Zehnerlogarithmus kennen und jede andere Basis über eine Division entsteht. Sie erklärt auch, warum die Graphen von Logarithmen zu verschiedenen Basen alle dieselbe Form haben und sich nur um einen senkrechten Streckfaktor unterscheiden.
Häufige Fehler
- Den Logarithmus einer Summe als Summe der Logarithmen behandeln: log(a + b) ist nicht log a + log b. Die Regel gilt für das Produkt: log(a·b) = log a + log b.
- Die Existenzbedingungen bei Logarithmusgleichungen vergessen: die gefundenen Lösungen müssen stets geprüft werden, denn eine davon kann das Argument negativ machen und ist dann zu verwerfen.
- Die Schreibweisen verwechseln: in vielen Schulbüchern bedeutet log ohne Index Basis 10, in der höheren Mathematik und in Programmiersprachen dagegen Basis e. Wo der Zusammenhang unklar ist, schreibt man den Index dazu.
Häufige Fragen
Was ist ein Logarithmus?
Der Exponent, mit dem die Basis potenziert werden muss, um das Argument zu erhalten. log₂(32) = 5, weil 2 hoch 5 gleich 32 ist. Logarithmus und Potenz sind dieselbe Beziehung von zwei Seiten gelesen.
Wie löst man eine Exponentialgleichung wie 3ˣ = 81?
Man logarithmiert beide Seiten: x = log₃(81) = 4. Ist das Argument eine exakte Potenz der Basis, kann man auch direkt erkennen, dass 81 = 3⁴ ist.
Wie lautet die Formel für den Basiswechsel?
log_b(x) = log_k(x) / log_k(b), für jede neue Basis k, die positiv und von 1 verschieden ist. In der Praxis nimmt man k = e oder k = 10, weil das die Basen sind, die Taschenrechner kennen.
Warum muss das Argument des Logarithmus positiv sein?
Weil eine Potenz mit positiver Basis immer positiv ist: kein Exponent macht 2 hoch x zu null oder negativ. Darum ist der Definitionsbereich des Logarithmus die Menge der positiven reellen Zahlen.
Wie diese Berechnung funktioniert
Definition: log_b(x) = y ist gleichbedeutend mit bʸ = x, mit b > 0, b ≠ 1 und x > 0. Basiswechsel: log_b(x) = ln(x)/ln(b) = log₁₀(x)/log₁₀(b). Rechenregeln: log(a·b) = log a + log b; log(a/b) = log a − log b; log(aⁿ) = n·log a; log_b(b) = 1; log_b(1) = 0. Exponentialgleichung bˣ = y: x = log_b(y) = ln y / ln b. Numerus: aus log_b(x) = y folgt x = bʸ. Häufige Basen: e ≈ 2,71828 für den natürlichen Logarithmus ln, 10 für den Zehnerlogarithmus, 2 für den in der Informatik gebräuchlichen Zweierlogarithmus.
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