Matematica
Calcolatrice della regola di Ruffini
Inserisci i coefficienti del polinomio e il valore a: ottieni la tabella della divisione per (x − a), il quoziente, il resto e la scomposizione completa con tutte le radici razionali e la loro molteplicità.
A che cosa serve la regola di Ruffini
La regola di Ruffini è un modo rapido di dividere un polinomio per un binomio della forma (x − a): si riporta in basso il primo coefficiente, lo si moltiplica per a, si somma al coefficiente successivo e si ripete fino in fondo. I numeri della riga inferiore sono i coefficienti del quoziente, e l'ultimo è il resto. Serve meno spazio della divisione in colonna perché si lavora solo sui coefficienti, senza riscrivere ogni volta le potenze di x.
L'ultimo numero non è soltanto il resto: per il teorema del resto è il valore del polinomio calcolato in a. Se viene zero, a è una radice e (x − a) è un fattore, e il quoziente è il polinomio che resta da scomporre — di grado inferiore di uno, quindi più facile. Ripetendo il procedimento sul quoziente si arriva alla scomposizione completa, ed è per questo che Ruffini e scomposizione si studiano insieme.
Restano da capire quali a provare, e qui entra il teorema delle radici razionali: se il polinomio ha coefficienti interi, ogni sua radice razionale p/q ha p divisore del termine noto e q divisore del coefficiente di grado massimo. I candidati sono quindi finiti e si provano tutti. Chi non li supera non è una radice razionale, e questa calcolatrice lo dice invece di restituire un valore approssimato: un polinomio come x² − 2 ha radici reali, ma nessuna è razionale, e con Ruffini non si scompone.
Errori frequenti
- Sbagliare il segno di a. Si divide per (x − a), quindi per dividere per (x + 3) il valore da inserire è −3. È l'errore più comune, e si riconosce da un resto grande dove ci si aspettava zero.
- Dimenticare i coefficienti nulli. In x³ − 4x il coefficiente di x² è zero e va inserito: saltarlo sposta tutti gli altri di un posto e il risultato non ha più niente a che vedere con il polinomio di partenza.
- Considerare solo le radici intere. Con un coefficiente direttivo diverso da 1 le radici razionali possono essere frazioni: 2x² − 3x + 1 si annulla in 1/2, che nessuna prova con i soli numeri interi troverebbe.
Domande frequenti
Come funziona la regola di Ruffini passo per passo?
Si scrivono i coefficienti dal grado più alto al termine noto, compresi gli zeri. Si riporta in basso il primo, lo si moltiplica per a e si somma al secondo; si moltiplica il risultato per a e si somma al terzo, e così via. I numeri ottenuti, tranne l'ultimo, sono i coefficienti del quoziente; l'ultimo è il resto.
Quando un polinomio è divisibile per (x − a)?
Quando il resto della divisione è zero, cioè quando P(a) = 0. È il teorema di Ruffini, conseguenza diretta del teorema del resto: dividere per (x − a) lascia come resto proprio il valore del polinomio in a.
Come si trovano le radici da provare?
Con il teorema delle radici razionali: a coefficienti interi, ogni radice razionale è della forma p/q con p divisore del termine noto e q divisore del coefficiente di grado massimo. Si provano tutti i candidati, con entrambi i segni. Questa calcolatrice lo fa automaticamente.
Che cosa vuol dire che una radice ha molteplicità due?
Che il fattore (x − a) compare due volte nella scomposizione, cioè che dopo averlo diviso una volta il quoziente si annulla ancora in a. Per esempio x³ − 6x² + 12x − 8 è (x − 2)³: la radice 2 ha molteplicità tre.
Si può usare Ruffini per dividere per (2x − 1)?
Non direttamente: la regola vale per divisori monici, cioè della forma (x − a). Si raccoglie però il 2, scrivendo 2x − 1 = 2(x − 1/2), si divide per (x − 1/2) e si divide poi il quoziente per 2. Questa calcolatrice accetta valori frazionari di a, quindi puoi inserire 0,5 direttamente.
Come funziona questo calcolo
Divisione sintetica per (x − a): dati i coefficienti aₙ, aₙ₋₁, …, a₀, si pone bₙ₋₁ = aₙ e poi b₍ₖ₋₁₎ = aₖ + a·bₖ scendendo fino al termine noto. I b sono i coefficienti del quoziente e l'ultimo valore calcolato è il resto R, con P(x) = (x − a)·Q(x) + R. Teorema del resto: R = P(a). Teorema di Ruffini: (x − a) divide P se e solo se P(a) = 0. Teorema delle radici razionali: se P ha coefficienti interi, ogni radice razionale p/q in forma ridotta ha p divisore di a₀ e q divisore di aₙ; la ricerca prova tutti questi candidati con entrambi i segni, e ripete la divisione su ciascuno finché il resto resta nullo, il che dà la molteplicità. Lo zero non compare fra quei candidati, perché non divide il termine noto, ed è trattato a parte: è radice quando a₀ = 0. Tutti i conti sono svolti su frazioni di interi, non su numeri in virgola mobile, perché il resto va confrontato con zero esattamente.
Calcoli collegati
Equazioni di primo e secondo grado
Radici, discriminante, vertice e scomposizione di ax² + bx + c = 0.
Radicali
Semplificazione delle radici e razionalizzazione del denominatore.
Logaritmi ed esponenziali
Logaritmo in qualsiasi base, equazioni esponenziali e cambio di base.
Scomposizione di polinomi
Raccoglimento, Ruffini, prodotti notevoli e trinomi: la scomposizione di un polinomio passo per passo.