Matematyka
Upraszczanie pierwiastków
Uprość pierwiastek dowolnego stopnia, wyciągając czynniki, albo usuń niewymierność z mianownika. Rozkład na czynniki pierwsze pokazuje się obok wyniku.
Co znaczy uprościć pierwiastek
Uprościć pierwiastek to wyprowadzić spod znaku pierwiastka wszystko, co może stamtąd wyjść, zostawiając w środku jak najmniej. Reguła jest jedna: rozkłada się liczbę podpierwiastkową na czynniki pierwsze, a każda pełna grupa jednakowych czynników, w liczbie równej stopniowi, wychodzi jako pojedynczy czynnik. Dla √72 rozkład to 2³·3², 2² i 3² wychodzą jako 2 i 3, a w środku zostaje 2: wynik to 6√2.
Postać uproszczona nie jest kwestią estetyki. Sprawia, że pierwiastki można natychmiast porównywać — √72 i 6√2 to ta sama liczba, ale tylko druga postać sumuje się z innymi wielokrotnościami √2 — i zmniejsza błędy zaokrągleń, bo do ostatniego kroku pracuje się na mniejszych liczbach.
Usuwanie niewymierności rozwiązuje inny problem: pozbycie się pierwiastka z mianownika. Mnoży się licznik i mianownik przez ten sam pierwiastek, co odpowiada mnożeniu przez jeden i nie zmienia wartości, ale zamienia √c · √c w c. Historycznie robiono tak, bo dzielenie przez liczbę niewymierną ręcznie jest niewygodne; dziś zostaje, bo postać z wymiernym mianownikiem jest kanoniczna i uwidacznia skrócenia, które inaczej pozostałyby ukryte.
Częste błędy
- Rozdzielanie pierwiastka na sumę: √(a + b) to nie √a + √b. Pierwiastek rozdziela się na iloczyn i iloraz, nigdy na sumę.
- Wyciąganie czynnika, który nie tworzy pełnej grupy: z √12 = √(2²·3) wychodzi tylko 2, a nie 3. Trójka występuje raz, a stopień wynosi dwa.
- Pomijanie wartości bezwzględnej przy upraszczaniu √(x²): wynikiem jest |x|, a nie x, bo pierwiastek kwadratowy zawsze zwraca wartość nieujemną.
Najczęstsze pytania
Jak uprościć pierwiastek kwadratowy?
Rozkłada się liczbę podpierwiastkową na czynniki pierwsze i wyciąga jeden czynnik za każdą parę jednakowych czynników. Dla √72 = √(2³·3²) wychodzą 2 i 3, a w środku zostaje 2: otrzymujemy 6√2.
Jak usunąć niewymierność z mianownika?
Mnoży się licznik i mianownik przez pierwiastek obecny w mianowniku. Z 3/(2√5) przechodzi się do 3√5/(2·5) = 3√5/10, gdzie mianownik jest już liczbą całkowitą.
Czy można obliczyć pierwiastek z liczby ujemnej?
Przy stopniu nieparzystym tak, a wynik jest ujemny: pierwiastek sześcienny z −8 wynosi −2. Przy stopniu parzystym nie, przynajmniej nie w liczbach rzeczywistych, bo żadna liczba podniesiona do potęgi parzystej nie daje wyniku ujemnego.
Czym różni się pierwiastek od potęgi o wykładniku ułamkowym?
Niczym: to dwa zapisy tej samej operacji. Pierwiastek n-tego stopnia z a zapisuje się także a^(1/n), a ta postać czyni wszystkie własności oczywistymi, bo stają się zwykłymi regułami potęgowania.
Jak działa to obliczenie
Upraszczanie: po rozłożeniu liczby podpierwiastkowej jako p₁^e₁ · p₂^e₂ · … każdy czynnik pierwszy wychodzi spod pierwiastka podniesiony do części całkowitej eᵢ/n i zostaje pod nim podniesiony do reszty z eᵢ/n, gdzie n to stopień. Zapis z wykładnikiem ułamkowym: ⁿ√(a^m) = a^(m/n). Własności: ⁿ√(a·b) = ⁿ√a · ⁿ√b oraz ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b; dla sumy analogicznej własności nie ma. Usunięcie niewymierności z mianownika postaci a/(b·√c): mnoży się licznik i mianownik przez √c, otrzymując (a·√c)/(b·c), a następnie skraca ułamek. Pierwiastek parzystego stopnia: określony w liczbach rzeczywistych tylko dla nieujemnej liczby podpierwiastkowej; nieparzystego: dla każdej rzeczywistej, przy czym znak wychodzi przed pierwiastek.