Matemática
Simplificação de radicais
Simplifique uma raiz de qualquer índice tirando fatores para fora, ou racionalize um denominador. A fatoração em primos aparece ao lado da resposta.
O que significa simplificar uma raiz
Simplificar um radical significa tirar de debaixo do sinal da raiz tudo o que pode sair, deixando dentro o mínimo possível. A regra prática é uma só: fatore o radicando em primos, e cada grupo completo de fatores iguais, tantos quanto o índice, sai como um único fator. Para √72 a fatoração é 2³·3², o 2² e o 3² saem como 2 e 3, e um 2 fica dentro: a resposta é 6√2.
A forma simplificada não é questão de gosto. Ela torna os radicais imediatamente comparáveis — √72 e 6√2 são o mesmo número, mas só a segunda forma se soma com outros múltiplos de √2 — e reduz o erro de arredondamento, porque se trabalha com números menores até o último passo.
Racionalizar resolve outro problema: tirar a raiz do denominador. Multiplicam-se numerador e denominador pela mesma raiz, o que é multiplicar por um e, portanto, não muda nada, mas transforma √c · √c em c. Historicamente importava porque dividir por um número irracional à mão é trabalhoso; hoje sobrevive porque a forma racionalizada é a canônica e porque revela simplificações que de outro modo ficariam escondidas.
Erros frequentes
- Distribuir a raiz sobre uma soma: √(a + b) não é √a + √b. A raiz se distribui sobre produtos e quocientes, nunca sobre somas.
- Tirar um fator que não forma um grupo completo: de √12 = √(2²·3) só sai o 2, não o 3. O 3 aparece uma vez e o índice é dois.
- Esquecer o valor absoluto ao simplificar √(x²): a resposta é |x|, não x, porque uma raiz quadrada sempre devolve um valor não negativo.
Perguntas frequentes
Como se simplifica uma raiz quadrada?
Fatore o radicando em primos e tire um fator para cada par de fatores iguais. Para √72 = √(2³·3²) saem o 2 e o 3 e um 2 fica dentro: a resposta é 6√2.
Como se racionaliza um denominador?
Multiplique numerador e denominador pela raiz do denominador. De 3/(2√5) obtém-se 3√5/(2·5) = 3√5/10, em que o denominador agora é um número inteiro.
Dá para tirar a raiz de um número negativo?
Com índice ímpar sim, e o resultado é negativo: a raiz cúbica de −8 é −2. Com índice par não, pelo menos não nos reais, porque nenhum número elevado a uma potência par dá resultado negativo.
Qual a diferença entre uma raiz e um expoente fracionário?
Nenhuma: são duas notações para a mesma operação. A raiz n-ésima de a também se escreve a^(1/n), e essa forma torna todas as propriedades óbvias, porque elas viram as regras comuns das potências.
Como funciona este cálculo
Simplificação: com o radicando fatorado como p₁^e₁ · p₂^e₂ · …, cada primo sai da raiz elevado à parte inteira de eᵢ/n e fica dentro elevado ao resto de eᵢ/n, em que n é o índice. Notação com expoente fracionário: ⁿ√(a^m) = a^(m/n). Propriedades: ⁿ√(a·b) = ⁿ√a · ⁿ√b e ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b; não há propriedade equivalente para somas. Racionalização de um denominador da forma a/(b·√c): multiplica-se em cima e embaixo por √c para obter (a·√c)/(b·c), e depois simplifica-se a fração. As raízes de índice par só são definidas nos reais para radicandos não negativos; as de índice ímpar são definidas para todo radicando real, com o sinal saindo da raiz.