Mathématiques
Simplification des radicaux
Simplifiez une racine de n'importe quel indice en sortant les facteurs, ou rationalisez un dénominateur. La décomposition en facteurs premiers est affichée à côté du résultat.
Ce que signifie simplifier une racine
Simplifier un radical, c'est sortir du signe racine tout ce qui peut en sortir, en laissant le moins possible à l'intérieur. La règle opératoire est unique : on décompose le radicande en facteurs premiers, et chaque groupe complet de facteurs identiques, en nombre égal à l'indice, sort sous la forme d'un seul facteur. Pour √72 la décomposition est 2³·3², le 2² et le 3² sortent en 2 et 3, et un 2 reste dedans : le résultat est 6√2.
La forme simplifiée n'est pas une question d'esthétique. Elle rend les radicaux immédiatement comparables — √72 et 6√2 sont le même nombre, mais seule la seconde forme s'additionne avec d'autres multiples de √2 — et elle réduit les erreurs d'arrondi, puisqu'on travaille avec des nombres plus petits jusqu'à la dernière étape.
La rationalisation règle un autre problème : ôter la racine du dénominateur. On multiplie numérateur et dénominateur par la même racine, ce qui revient à multiplier par un et ne change donc pas la valeur, mais transforme √c · √c en c. Historiquement, diviser à la main par un irrationnel était malcommode ; aujourd'hui la pratique demeure parce que la forme rationalisée est la forme canonique et parce qu'elle rend visibles des simplifications autrement cachées.
Erreurs fréquentes
- Distribuer la racine sur une somme : √(a + b) n'est pas √a + √b. La racine se distribue sur le produit et le quotient, jamais sur la somme.
- Sortir un facteur qui ne forme pas un groupe complet : de √12 = √(2²·3) seul le 2 sort, pas le 3. Le 3 n'apparaît qu'une fois et l'indice est deux.
- Oublier la valeur absolue en simplifiant √(x²) : le résultat est |x|, pas x, car la racine carrée renvoie toujours une valeur positive ou nulle.
Questions fréquentes
Comment simplifier une racine carrée ?
On décompose le radicande en facteurs premiers et on sort un facteur pour chaque paire de facteurs identiques. Pour √72 = √(2³·3²), 2 et 3 sortent et un 2 reste : on obtient 6√2.
Comment rationaliser un dénominateur ?
On multiplie numérateur et dénominateur par la racine présente au dénominateur. De 3/(2√5) on passe à 3√5/(2·5) = 3√5/10, où le dénominateur est désormais un entier.
Peut-on calculer la racine d'un nombre négatif ?
Avec un indice impair oui, et le résultat est négatif : la racine cubique de −8 vaut −2. Avec un indice pair non, du moins pas dans les réels, car aucun nombre élevé à une puissance paire ne donne un résultat négatif.
Quelle différence entre une racine et une puissance à exposant fractionnaire ?
Aucune : ce sont deux notations de la même opération. La racine n-ième de a s'écrit aussi a^(1/n), et cette forme rend toutes les propriétés évidentes, car elles deviennent les règles ordinaires des puissances.
Comment fonctionne ce calcul
Simplification : le radicande décomposé en p₁^e₁ · p₂^e₂ · …, chaque nombre premier sort de la racine élevé à la partie entière de eᵢ/n et reste dedans élevé au reste de eᵢ/n, où n est l'indice. Notation à exposant fractionnaire : ⁿ√(a^m) = a^(m/n). Propriétés : ⁿ√(a·b) = ⁿ√a · ⁿ√b et ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b ; il n'existe pas de propriété analogue pour la somme. Rationalisation d'un dénominateur de la forme a/(b·√c) : on multiplie en haut et en bas par √c pour obtenir (a·√c)/(b·c), puis on simplifie la fraction. Racine d'indice pair : définie dans les réels seulement pour un radicande positif ou nul ; racine d'indice impair : définie pour tout radicande réel, le signe sortant de la racine.