Schemat Hornera: dzielenie i rozkład wielomianu

Do czego służy schemat Hornera

Schemat Hornera — reguła Ruffiniego — to szybki sposób dzielenia wielomianu przez dwumian postaci (x − a): przepisuje się pierwszy współczynnik, mnoży przez a, dodaje do następnego i powtarza do końca. Liczby w dolnym wierszu to współczynniki ilorazu, a ostatnia to reszta. Zajmuje mniej miejsca niż dzielenie pisemne, bo pracuje się tylko na współczynnikach, bez przepisywania za każdym razem potęg x.

Ta ostatnia liczba to więcej niż reszta: z twierdzenia o reszcie jest to wartość wielomianu w punkcie a. Jeśli wyjdzie zero, a jest pierwiastkiem, (x − a) jest czynnikiem, a iloraz to wielomian pozostały do rozłożenia — o stopień niższy, a więc łatwiejszy. Powtarzając procedurę na ilorazie, dochodzi się do pełnego rozkładu, i dlatego dzielenie i rozkład na czynniki wykłada się razem.

Pozostaje pytanie, jakie a próbować, i tu wkracza twierdzenie o pierwiastkach wymiernych: jeśli wielomian ma współczynniki całkowite, to w każdym pierwiastku wymiernym p/q licznik p dzieli wyraz wolny, a mianownik q — współczynnik wiodący. Kandydatów jest więc skończenie wielu i można sprawdzić wszystkich. Co nie przejdzie próby, nie jest pierwiastkiem wymiernym, a ten kalkulator to mówi, zamiast zwracać wartość przybliżoną: wielomian taki jak x² − 2 ma pierwiastki rzeczywiste, ale żaden nie jest wymierny, i schematem Hornera się go nie rozłoży.

Częste błędy

Pomylenie znaku a. Dzieli się przez (x − a), więc aby podzielić przez (x + 3), należy wpisać −3. To najczęstsza pomyłka, a zdradza ją duża reszta tam, gdzie spodziewano się zera.
Pominięcie zerowych współczynników. W x³ − 4x współczynnik przy x² wynosi zero i trzeba go wpisać: pominięcie przesuwa wszystkie pozostałe o jedno miejsce i wynik nie ma już nic wspólnego z wyjściowym wielomianem.
Sprawdzanie tylko liczb całkowitych. Przy współczynniku wiodącym różnym od 1 pierwiastki wymierne mogą być ułamkami: 2x² − 3x + 1 zeruje się w 1/2, czego żadne szukanie wśród samych liczb całkowitych nie znajdzie.

Najczęstsze pytania

Jak działa schemat Hornera krok po kroku?

Wypisuje się współczynniki od najwyższego stopnia do wyrazu wolnego, wraz z zerami. Pierwszy przepisuje się w dół, mnoży przez a i dodaje do drugiego; wynik mnoży się przez a i dodaje do trzeciego, i tak dalej. Wszystkie liczby poza ostatnią to współczynniki ilorazu; ostatnia to reszta.

Kiedy wielomian dzieli się przez (x − a)?

Gdy reszta z dzielenia wynosi zero, czyli gdy P(a) = 0. To twierdzenie Bézouta, bezpośredni wniosek z twierdzenia o reszcie: dzielenie przez (x − a) zostawia jako resztę właśnie wartość wielomianu w a.

Skąd wiadomo, jakie pierwiastki sprawdzać?

Z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych: przy współczynnikach całkowitych każdy pierwiastek wymierny ma postać p/q, gdzie p dzieli wyraz wolny, a q współczynnik wiodący. Sprawdza się wszystkich kandydatów, z oboma znakami. Ten kalkulator robi to automatycznie.

Co znaczy, że pierwiastek ma krotność dwa?

Że czynnik (x − a) występuje w rozkładzie dwa razy, czyli po jednokrotnym podzieleniu iloraz nadal zeruje się w a. Na przykład x³ − 6x² + 12x − 8 to (x − 2)³: pierwiastek 2 ma krotność trzy.

Czy można tym podzielić przez (2x − 1)?

Nie wprost: reguła dotyczy dzielników unormowanych, postaci (x − a). Można jednak wyłączyć 2, pisząc 2x − 1 = 2(x − 1/2), podzielić przez (x − 1/2), a potem iloraz podzielić przez 2. Ten kalkulator przyjmuje ułamkowe wartości a, więc można od razu wpisać 0,5.

Jak działa to obliczenie

Dzielenie przez (x − a): mając współczynniki aₙ, aₙ₋₁, …, a₀, przyjmuje się bₙ₋₁ = aₙ, a następnie b₍ₖ₋₁₎ = aₖ + a·bₖ schodząc do wyrazu wolnego. Liczby b to współczynniki ilorazu, a ostatnia obliczona wartość to reszta R, przy czym P(x) = (x − a)·Q(x) + R. Twierdzenie o reszcie: R = P(a). Twierdzenie Bézouta: (x − a) dzieli P dokładnie wtedy, gdy P(a) = 0. Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych: jeśli P ma współczynniki całkowite, to w każdym nieskracalnym pierwiastku wymiernym p/q licznik p dzieli a₀, a mianownik q dzieli aₙ; przeszukiwanie sprawdza wszystkich takich kandydatów z oboma znakami i powtarza dzielenie przy każdym, dopóki reszta pozostaje zerowa, co daje krotność. Zera nie ma wśród tych kandydatów, bo nie dzieli wyrazu wolnego, i jest traktowane osobno: jest pierwiastkiem, gdy a₀ = 0. Wszystkie rachunki prowadzone są na ułamkach liczb całkowitych, a nie w arytmetyce zmiennoprzecinkowej, bo resztę trzeba porównywać z zerem dokładnie.

Równania pierwszego i drugiego stopnia

Pierwiastki, wyróżnik, wierzchołek i postać iloczynowa równania ax² + bx + c = 0.

Pierwiastki

Upraszczanie pierwiastków i usuwanie niewymierności z mianownika.

Logarytmy i wyrażenia wykładnicze

Logarytm o dowolnej podstawie, równania wykładnicze i zmiana podstawy.

Rozkład wielomianu na czynniki

Wyłączanie wspólnego czynnika, schemat Hornera, wzory skróconego mnożenia i trójmiany krok po kroku.