Mathematik
Wurzeln vereinfachen
Vereinfache eine Wurzel beliebigen Grades, indem du Faktoren herausziehst, oder mache einen Nenner rational. Die Primfaktorzerlegung steht neben dem Ergebnis.
Was Wurzelvereinfachen bedeutet
Eine Wurzel zu vereinfachen heißt, alles aus dem Wurzelzeichen herauszuholen, was herauskann, und möglichst wenig darin zu lassen. Die Regel ist eine einzige: man zerlegt den Radikanden in Primfaktoren, und jede vollständige Gruppe gleicher Faktoren, so viele wie der Wurzelexponent, tritt als ein einzelner Faktor heraus. Für √72 lautet die Zerlegung 2³·3², das 2² und das 3² treten als 2 und 3 heraus, und eine 2 bleibt drin: das Ergebnis ist 6√2.
Die vereinfachte Form ist keine Geschmacksfrage. Sie macht Wurzeln unmittelbar vergleichbar — √72 und 6√2 sind dieselbe Zahl, aber nur die zweite Form addiert sich mit anderen Vielfachen von √2 — und sie verringert Rundungsfehler, weil man bis zum letzten Schritt mit kleineren Zahlen rechnet.
Das Rationalmachen löst ein anderes Problem: die Wurzel aus dem Nenner zu bekommen. Man multipliziert Zähler und Nenner mit derselben Wurzel, was einer Multiplikation mit eins entspricht und den Wert daher nicht ändert, aber √c · √c in c verwandelt. Historisch war das nötig, weil die Division durch eine irrationale Zahl von Hand mühsam ist; heute bleibt es, weil die rationalisierte Form die kanonische ist und weil sie Kürzungen sichtbar macht, die sonst verborgen blieben.
Häufige Fehler
- Die Wurzel auf eine Summe verteilen: √(a + b) ist nicht √a + √b. Die Wurzel verteilt sich auf Produkt und Quotient, nie auf die Summe.
- Einen Faktor herausziehen, der keine vollständige Gruppe bildet: aus √12 = √(2²·3) tritt nur die 2 heraus, nicht die 3. Die 3 kommt nur einmal vor, und der Exponent ist zwei.
- Den Betrag beim Vereinfachen von √(x²) vergessen: das Ergebnis ist |x|, nicht x, denn die Quadratwurzel liefert stets einen nicht negativen Wert.
Häufige Fragen
Wie vereinfacht man eine Quadratwurzel?
Man zerlegt den Radikanden in Primfaktoren und zieht für jedes Paar gleicher Faktoren einen Faktor heraus. Für √72 = √(2³·3²) treten 2 und 3 heraus, eine 2 bleibt drin: man erhält 6√2.
Wie macht man einen Nenner rational?
Man multipliziert Zähler und Nenner mit der im Nenner stehenden Wurzel. Aus 3/(2√5) wird 3√5/(2·5) = 3√5/10, wo der Nenner nun eine ganze Zahl ist.
Kann man die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen?
Bei ungeradem Wurzelexponenten ja, und das Ergebnis ist negativ: die dritte Wurzel aus −8 ist −2. Bei geradem Exponenten nicht, jedenfalls nicht im Reellen, denn keine Zahl mit geradem Exponenten ergibt ein negatives Ergebnis.
Was unterscheidet eine Wurzel von einer Potenz mit gebrochenem Exponenten?
Nichts: es sind zwei Schreibweisen derselben Operation. Die n-te Wurzel aus a schreibt man auch a^(1/n), und diese Form macht alle Rechenregeln offensichtlich, weil sie zu den gewöhnlichen Potenzregeln werden.
Wie diese Berechnung funktioniert
Vereinfachung: ist der Radikand als p₁^e₁ · p₂^e₂ · … zerlegt, tritt jeder Primfaktor mit dem ganzzahligen Anteil von eᵢ/n aus der Wurzel und bleibt mit dem Rest von eᵢ/n darin, wobei n der Wurzelexponent ist. Schreibweise mit gebrochenem Exponenten: ⁿ√(a^m) = a^(m/n). Rechenregeln: ⁿ√(a·b) = ⁿ√a · ⁿ√b und ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b; für die Summe gibt es keine entsprechende Regel. Nenner der Form a/(b·√c) rational machen: oben und unten mit √c multiplizieren, das ergibt (a·√c)/(b·c), danach den Bruch kürzen. Wurzeln mit geradem Exponenten sind im Reellen nur für nicht negative Radikanden definiert; solche mit ungeradem Exponenten für jeden reellen Radikanden, wobei das Vorzeichen aus der Wurzel heraustritt.