Fisica
Calcolatrice del diagramma di Bode
Inserisci numeratore e denominatore di H(s): ottieni il diagramma del modulo in decibel e quello della fase in gradi, sovrapposti sulla stessa scala di frequenze, con margine di fase e margine di guadagno.
Come si legge un diagramma di Bode
Il diagramma di Bode mostra come un sistema risponde a ogni frequenza, e lo fa con due grafici sovrapposti: il modulo di H(jω) in decibel e la sua fase in gradi, entrambi su un asse delle frequenze logaritmico. La scala logaritmica non è una comodità grafica: è ciò che trasforma il prodotto dei fattori di H in una somma, e quindi ogni polo e ogni zero in un tratto di retta che si somma agli altri. È per questo che un diagramma di Bode si può tracciare a mano conoscendo solo le pulsazioni di rottura.
Ogni polo aggiunge −20 dB per decade alla pendenza del modulo e −90° alla fase, ogni zero altrettanto con il segno opposto, e la transizione avviene attorno alla pulsazione di rottura pari al modulo del polo o dello zero. Alla pulsazione di rottura di un polo semplice il modulo è già 3 dB sotto l'asintoto e la fase è a −45°, esattamente a metà del salto: sono i due numeri con cui si verifica un diagramma tracciato a occhio.
I due numeri che contano davvero sono i margini. Il margine di fase è quanto la fase resta sopra i −180° alla pulsazione in cui il modulo attraversa gli 0 dB; il margine di guadagno è quanto il modulo sta sotto gli 0 dB alla pulsazione in cui la fase attraversa i −180°. Sono la distanza dal punto in cui la retroazione, invece di correggere, rinforza l'errore: margini positivi vogliono dire anello chiuso stabile, e margini ampi vogliono dire anello chiuso poco oscillante.
Errori frequenti
- Leggere il margine di fase alla pulsazione sbagliata. Va letto dove il modulo attraversa gli 0 dB, non dove la fase attraversa i −180°: in quest'ultimo punto si legge il margine di guadagno.
- Dimenticare che la fase va srotolata. Passando sotto i −180° l'arcotangente riporta a +180°, e un margine di fase letto su quel salto risulta positivo mentre il sistema è instabile. Qui la fase è srotolata, e infatti scende con continuità.
- Tracciare il modulo su un asse delle frequenze lineare. Le asintote smettono di essere rette, le decadi si accumulano contro il bordo sinistro e il diagramma perde proprio la proprietà per cui esiste.
Domande frequenti
Che cos'è il margine di fase?
È la distanza fra la fase e i −180° alla pulsazione in cui il modulo vale 0 dB. Un margine di 45° o 60° è il compromesso abituale: sotto i 30° la risposta in anello chiuso diventa molto oscillante, sopra i 70° si perde banda passante.
Che cos'è il margine di guadagno?
È di quanti decibel si può alzare il guadagno prima che il sistema in anello chiuso diventi instabile. Si legge alla pulsazione in cui la fase attraversa i −180°, misurando quanto il modulo sta sotto gli 0 dB in quel punto.
Perché l'asse delle frequenze è logaritmico?
Perché il modulo di un prodotto di fattori è la somma dei moduli in decibel, e su scala logaritmica il contributo di ogni polo e di ogni zero diventa un tratto di retta. Su scala lineare quelle rette diventano curve e il diagramma smette di essere componibile a mano.
Quanto vale la pendenza alle alte frequenze?
Vale −20 dB per decade per ogni polo in più rispetto agli zeri, cioè −20 volte il grado relativo. La fase tende contemporaneamente a −90° per ciascuno di quei poli in eccesso.
A che cosa corrisponde una pulsazione di rottura?
Al modulo di un polo o di uno zero. Attorno a quella pulsazione la pendenza del modulo cambia di 20 dB per decade e la fase compie un salto di 90°, distribuito su circa una decade prima e una dopo.
Come funziona questo calcolo
Si valuta H(jω) sostituendo s = jω. Modulo in decibel: 20·log₁₀|H(jω)|. Fase: arg H(jω), srotolata in modo che non salti di 360° quando supera ±180°. La pulsazione di attraversamento del guadagno ω_c è quella in cui il modulo vale 0 dB; il margine di fase è arg H(jω_c) + 180°. La pulsazione di attraversamento della fase ω_π è quella in cui la fase vale −180°; il margine di guadagno è −20·log₁₀|H(jω_π)|. Le pulsazioni di rottura sono i moduli dei poli e degli zeri, e la finestra tracciata va da due decadi sotto la più bassa a due decadi sopra la più alta, così il diagramma segue il sistema invece di mostrare sempre lo stesso intervallo. Pendenza finale del modulo: −20·(grado relativo) dB/decade; fase finale: −90°·(grado relativo). Gli attraversamenti sono ricavati per interpolazione lineare fra i due campioni che li racchiudono, in scala logaritmica sulle frequenze e in decibel sul modulo, cioè nelle stesse coordinate in cui il diagramma è disegnato.