Physik
Rechner für das Bode-Diagramm
Gib Zähler und Nenner von H(s) ein: du erhältst das Betragsdiagramm in Dezibel und das Phasendiagramm in Grad, übereinander über derselben Frequenzachse, samt Phasen- und Amplitudenreserve.
Wie man ein Bode-Diagramm liest
Das Bode-Diagramm zeigt, wie ein System bei jeder Frequenz antwortet, und zwar mit zwei gemeinsam gelesenen Kurven: dem Betrag von H(jω) in Dezibel und seiner Phase in Grad, beide über einer logarithmischen Frequenzachse. Die logarithmische Skala ist keine zeichnerische Bequemlichkeit – sie macht aus dem Produkt der Faktoren von H eine Summe und damit aus jedem Pol und jeder Nullstelle ein Geradenstück, das sich zu den übrigen addiert. Deshalb lässt sich ein Bode-Diagramm allein aus den Knickfrequenzen von Hand skizzieren.
Jeder Pol fügt der Betragssteigung −20 dB je Dekade und der Phase −90° hinzu, jede Nullstelle dasselbe mit umgekehrtem Vorzeichen, und der Übergang liegt um die Knickfrequenz, also um den Betrag dieses Pols oder dieser Nullstelle. An der Knickfrequenz eines einfachen Pols liegt der Betrag bereits 3 dB unter der Asymptote und die Phase bei −45°, genau auf halbem Weg: das sind die beiden Zahlen, an denen eine freihändige Skizze geprüft wird.
Die beiden Zahlen, auf die es wirklich ankommt, sind die Reserven. Die Phasenreserve ist, wie weit die Phase bei der Frequenz, an der der Betrag 0 dB schneidet, über −180° bleibt; die Amplitudenreserve ist, wie weit der Betrag bei der Frequenz, an der die Phase −180° schneidet, unter 0 dB liegt. Sie sind der Abstand zu dem Punkt, an dem die Rückführung den Fehler nicht mehr ausgleicht, sondern verstärkt: positive Reserven bedeuten einen stabilen geschlossenen Kreis, große Reserven einen, der nicht nachschwingt.
Häufige Fehler
- Die Phasenreserve bei der falschen Frequenz ablesen. Sie wird dort abgelesen, wo der Betrag 0 dB schneidet, nicht dort, wo die Phase −180° schneidet: an dieser zweiten Stelle steht die Amplitudenreserve.
- Vergessen, dass die Phase entfaltet werden muss. Unterhalb von −180° springt der Arkustangens auf +180° zurück, und eine an diesem Sprung abgelesene Phasenreserve fällt positiv aus, während das System instabil ist. Hier ist die Phase entfaltet und fällt deshalb stetig.
- Den Betrag über einer linearen Frequenzachse auftragen. Die Asymptoten sind dann keine Geraden mehr, die Dekaden drängen sich am linken Rand, und das Diagramm verliert genau die Eigenschaft, für die es da ist.
Häufige Fragen
Was ist die Phasenreserve?
Der Abstand zwischen der Phase und −180° bei der Frequenz, an der der Betrag 0 dB beträgt. 45° oder 60° sind der übliche Kompromiss: unter 30° schwingt der geschlossene Kreis stark nach, über 70° verschenkt man Bandbreite.
Was ist die Amplitudenreserve?
Um wie viele Dezibel die Verstärkung steigen darf, bevor der geschlossene Kreis instabil wird. Sie wird bei der Frequenz abgelesen, an der die Phase −180° schneidet, indem man misst, wie weit der Betrag dort unter 0 dB liegt.
Warum ist die Frequenzachse logarithmisch?
Weil der Betrag eines Produkts von Faktoren die Summe ihrer Beträge in Dezibel ist und auf logarithmischer Skala der Beitrag jedes Pols und jeder Nullstelle zu einem Geradenstück wird. Auf linearer Skala werden diese Geraden zu Kurven, und das Diagramm lässt sich nicht mehr von Hand zusammensetzen.
Wie groß ist die Steigung bei hohen Frequenzen?
−20 dB je Dekade für jeden Pol, der über die Zahl der Nullstellen hinausgeht, also −20 mal der relative Grad. Die Phase strebt zugleich je überzähligem Pol gegen −90°.
Was ist eine Knickfrequenz?
Der Betrag eines Pols oder einer Nullstelle. Um sie herum ändert sich die Betragssteigung um 20 dB je Dekade und die Phase dreht um 90°, verteilt über etwa eine Dekade davor und eine danach.
Wie diese Berechnung funktioniert
H(jω) wird durch Einsetzen von s = jω ausgewertet. Betrag in Dezibel: 20·log₁₀|H(jω)|. Phase: arg H(jω), entfaltet, damit sie beim Überschreiten von ±180° nicht um 360° springt. Die Durchtrittsfrequenz der Verstärkung ω_c ist die Stelle mit 0 dB Betrag; die Phasenreserve ist arg H(jω_c) + 180°. Die Durchtrittsfrequenz der Phase ω_π ist die Stelle mit −180° Phase; die Amplitudenreserve ist −20·log₁₀|H(jω_π)|. Die Knickfrequenzen sind die Beträge der Pole und Nullstellen, und das gezeichnete Fenster reicht von zwei Dekaden unter der kleinsten bis zwei Dekaden über der größten, damit das Diagramm dem System folgt statt immer denselben Bereich zu zeigen. Endsteigung des Betrags: −20·(relativer Grad) dB je Dekade; Endphase: −90°·(relativer Grad). Die Durchtritte werden durch lineare Interpolation zwischen den beiden umgebenden Stützstellen bestimmt, in logarithmischer Frequenz und in Dezibel – also in denselben Koordinaten, in denen das Diagramm gezeichnet wird.