Physique
Calculateur du diagramme de Bode
Saisissez le numérateur et le dénominateur de H(s) : vous obtenez le diagramme du module en décibels et celui de la phase en degrés, superposés sur le même axe de fréquences, avec la marge de phase et la marge de gain.
Comment lire un diagramme de Bode
Le diagramme de Bode montre comment un système répond à chaque fréquence, à l'aide de deux courbes lues ensemble : le module de H(jω) en décibels et sa phase en degrés, toutes deux sur un axe de fréquences logarithmique. L'échelle logarithmique n'est pas un confort de tracé : c'est elle qui transforme le produit des facteurs de H en une somme, et donc chaque pôle et chaque zéro en un segment de droite qui s'ajoute aux autres. C'est pourquoi un diagramme de Bode se trace à la main à partir des seules pulsations de cassure.
Chaque pôle ajoute −20 dB par décade à la pente du module et −90° à la phase, chaque zéro fait de même au signe près, et la transition se produit autour de la pulsation de cassure, qui vaut le module de ce pôle ou de ce zéro. À la pulsation de cassure d'un pôle simple, le module est déjà 3 dB sous l'asymptote et la phase vaut −45°, exactement à mi-course : ce sont les deux nombres avec lesquels on vérifie un tracé à main levée.
Les deux nombres qui comptent vraiment sont les marges. La marge de phase est ce qui sépare la phase de −180° à la pulsation où le module franchit les 0 dB ; la marge de gain est ce qui sépare le module des 0 dB à la pulsation où la phase franchit les −180°. Elles mesurent la distance au point où le retour cesse de corriger l'erreur pour la renforcer : des marges positives signifient une boucle fermée stable, et des marges larges une boucle qui n'oscille pas.
Erreurs fréquentes
- Lire la marge de phase à la mauvaise pulsation. Elle se lit là où le module franchit les 0 dB, non là où la phase franchit les −180° : ce second point donne la marge de gain.
- Oublier que la phase doit être déroulée. Passé −180°, l'arctangente ressaute à +180°, et une marge de phase lue sur ce saut ressort positive alors que le système est instable. Ici la phase est déroulée, et descend donc continûment.
- Tracer le module sur un axe de fréquences linéaire. Les asymptotes cessent d'être droites, les décades s'entassent contre le bord gauche et le diagramme perd justement la propriété qui le justifie.
Questions fréquentes
Qu'est-ce que la marge de phase ?
C'est l'écart entre la phase et −180° à la pulsation où le module vaut 0 dB. Une marge de 45° ou 60° est le compromis habituel : sous 30° la réponse en boucle fermée oscille beaucoup, au-dessus de 70° on sacrifie de la bande passante.
Qu'est-ce que la marge de gain ?
C'est de combien de décibels on peut monter le gain avant que la boucle fermée ne devienne instable. Elle se lit à la pulsation où la phase franchit les −180°, en mesurant de combien le module y reste sous les 0 dB.
Pourquoi l'axe des fréquences est-il logarithmique ?
Parce que le module d'un produit de facteurs est la somme de leurs modules en décibels, et qu'en échelle logarithmique la contribution de chaque pôle et de chaque zéro devient un segment droit. En échelle linéaire ces droites deviennent des courbes et le diagramme n'est plus composable à la main.
Que vaut la pente en haute fréquence ?
−20 dB par décade pour chaque pôle en excès sur les zéros, soit −20 fois le degré relatif. La phase tend en même temps vers −90° pour chacun de ces pôles excédentaires.
À quoi correspond une pulsation de cassure ?
Au module d'un pôle ou d'un zéro. Autour d'elle la pente du module change de 20 dB par décade et la phase tourne de 90°, répartis sur environ une décade avant et une après.
Comment fonctionne ce calcul
On évalue H(jω) en substituant s = jω. Module en décibels : 20·log₁₀|H(jω)|. Phase : arg H(jω), déroulée pour qu'elle ne saute pas de 360° au passage de ±180°. La pulsation de coupure du gain ω_c est celle où le module vaut 0 dB ; la marge de phase vaut arg H(jω_c) + 180°. La pulsation de coupure de la phase ω_π est celle où la phase vaut −180° ; la marge de gain vaut −20·log₁₀|H(jω_π)|. Les pulsations de cassure sont les modules des pôles et des zéros, et la fenêtre tracée va de deux décades sous la plus basse à deux décades au-dessus de la plus haute, de sorte que le diagramme suive le système au lieu de montrer toujours le même intervalle. Pente finale du module : −20·(degré relatif) dB par décade ; phase finale : −90°·(degré relatif). Les passages sont obtenus par interpolation linéaire entre les deux échantillons qui les encadrent, en fréquence logarithmique et en décibels — les coordonnées mêmes dans lesquelles le diagramme est tracé.