Fizyka
Kalkulator wykresu Bodego
Podaj licznik i mianownik H(s): otrzymasz wykres modułu w decybelach i wykres fazy w stopniach, ułożone jeden nad drugim na tej samej osi częstotliwości, wraz z zapasem fazy i zapasem wzmocnienia.
Jak czytać wykres Bodego
Wykres Bodego pokazuje, jak układ odpowiada przy każdej częstotliwości, i robi to dwoma wykresami czytanymi razem: modułem H(jω) w decybelach i jego fazą w stopniach, obydwoma na logarytmicznej osi częstotliwości. Skala logarytmiczna nie jest wygodą rysunkową — to ona zamienia iloczyn czynników H w sumę, a więc każdy biegun i każde zero w odcinek prostej dodający się do pozostałych. Dlatego wykres Bodego da się naszkicować ręcznie, znając same pulsacje załamania.
Każdy biegun dokłada −20 dB na dekadę do nachylenia modułu i −90° do fazy, każde zero tyle samo z przeciwnym znakiem, a przejście następuje wokół pulsacji załamania, równej modułowi tego bieguna lub zera. Przy pulsacji załamania pojedynczego bieguna moduł jest już 3 dB poniżej asymptoty, a faza wynosi −45°, dokładnie w połowie skoku: to dwie liczby, którymi sprawdza się szkic zrobiony na oko.
Dwie liczby, które naprawdę się liczą, to zapasy. Zapas fazy to o ile faza pozostaje powyżej −180° przy pulsacji, w której moduł przecina 0 dB; zapas wzmocnienia to o ile moduł leży poniżej 0 dB przy pulsacji, w której faza przecina −180°. Są miarą odległości od punktu, w którym sprzężenie zwrotne przestaje korygować uchyb, a zaczyna go wzmacniać: dodatnie zapasy oznaczają stabilną pętlę zamkniętą, a szerokie zapasy — pętlę, która nie drga.
Częste błędy
- Odczytywanie zapasu fazy przy złej pulsacji. Czyta się go tam, gdzie moduł przecina 0 dB, a nie tam, gdzie faza przecina −180°: w tym drugim punkcie odczytuje się zapas wzmocnienia.
- Zapominanie, że fazę trzeba rozwinąć. Poniżej −180° arkus tangens wraca do +180°, a zapas fazy odczytany na tym skoku wychodzi dodatni, choć układ jest niestabilny. Tutaj faza jest rozwinięta i dlatego opada w sposób ciągły.
- Rysowanie modułu na liniowej osi częstotliwości. Asymptoty przestają być proste, dekady tłoczą się przy lewej krawędzi, a wykres traci właśnie tę własność, dla której istnieje.
Najczęstsze pytania
Czym jest zapas fazy?
To odległość między fazą a −180° przy pulsacji, w której moduł wynosi 0 dB. Zapas 45° lub 60° to zwykły kompromis: poniżej 30° odpowiedź w pętli zamkniętej mocno drga, powyżej 70° oddaje się pasmo.
Czym jest zapas wzmocnienia?
To o ile decybeli można podnieść wzmocnienie, zanim pętla zamknięta stanie się niestabilna. Odczytuje się go przy pulsacji, w której faza przecina −180°, mierząc, o ile moduł leży tam poniżej 0 dB.
Dlaczego oś częstotliwości jest logarytmiczna?
Bo moduł iloczynu czynników jest sumą ich modułów w decybelach, a w skali logarytmicznej wkład każdego bieguna i zera staje się odcinkiem prostej. W skali liniowej te proste zamieniają się w krzywe i wykresu nie da się już złożyć ręcznie.
Ile wynosi nachylenie przy wysokich częstotliwościach?
−20 dB na dekadę za każdy biegun ponad liczbę zer, czyli −20 razy stopień względny. Faza dąży jednocześnie do −90° za każdy taki nadmiarowy biegun.
Czemu odpowiada pulsacja załamania?
Modułowi bieguna albo zera. Wokół niej nachylenie modułu zmienia się o 20 dB na dekadę, a faza obraca się o 90°, rozłożone mniej więcej na dekadę przed i dekadę po.
Jak działa to obliczenie
H(jω) oblicza się, podstawiając s = jω. Moduł w decybelach: 20·log₁₀|H(jω)|. Faza: arg H(jω), rozwinięta tak, by nie skakała o 360° przy przejściu przez ±180°. Pulsacja przecięcia wzmocnienia ω_c to ta, przy której moduł wynosi 0 dB; zapas fazy to arg H(jω_c) + 180°. Pulsacja przecięcia fazy ω_π to ta, przy której faza wynosi −180°; zapas wzmocnienia to −20·log₁₀|H(jω_π)|. Pulsacje załamania to moduły biegunów i zer, a rysowane okno sięga od dwóch dekad poniżej najmniejszej do dwóch dekad powyżej największej, dzięki czemu wykres podąża za układem, zamiast pokazywać zawsze ten sam zakres. Końcowe nachylenie modułu: −20·(stopień względny) dB na dekadę; faza końcowa: −90°·(stopień względny). Przecięcia wyznacza interpolacja liniowa między dwiema otaczającymi próbkami, w logarytmicznej częstotliwości i w decybelach — czyli w tych samych współrzędnych, w jakich wykres jest rysowany.