Circuiti RLC: calcolatrice di impedenza, risonanza e transitori

Reattanze opposte, e la frequenza in cui si annullano

In corrente continua un condensatore è un circuito aperto e una bobina un semplice filo. In alternata entrambi oppongono resistenza al passaggio, ma in modo opposto e dipendente dalla frequenza: la reattanza induttiva cresce con f, quella capacitiva decresce. Non si tratta di resistenza vera, perché non dissipa energia: la immagazzina per un quarto di periodo e la restituisce nel successivo.

Poiché le due reattanze sfasano la corrente in versi opposti, nell'impedenza compaiono con il segno meno: Z = √(R² + (Xʟ − Xᴄ)²). Esiste quindi una frequenza in cui si cancellano esattamente, e l'impedenza scende al valore minimo possibile, cioè la sola resistenza. È la risonanza, f₀ = 1/(2π√(LC)), ed è il principio con cui una radio seleziona una stazione fra tutte quelle che raggiungono l'antenna.

Il fattore di potenza misura quanta della corrente che circola serve davvero. Un motore industriale con cos φ = 0,7 assorbe dalla rete una corrente del 43% superiore a quella che servirebbe per la stessa potenza utile, e le perdite lungo le linee crescono con il quadrato della corrente. È per questo che i grandi utenti pagano una penale sul fattore di potenza e installano batterie di condensatori per correggerlo.

Errori frequenti

Sommare le reattanze all'impedenza come se fossero resistenze: vanno prima sottratte fra loro e poi composte con R secondo il teorema di Pitagora.
Confondere potenza apparente e potenza attiva: la prima in voltampere è quella che il generatore deve erogare, la seconda in watt è quella che il carico trasforma davvero.
Ritenere che nel transitorio RL più resistenza significhi transitorio più lento: la costante è L/R, quindi una resistenza maggiore lo rende più veloce. Nel caso RC, invece, è vero il contrario.

Domande frequenti

Come si calcola l'impedenza di un circuito RLC serie?

Z = √(R² + (Xʟ − Xᴄ)²), con Xʟ = 2πfL e Xᴄ = 1/(2πfC). Le reattanze si sottraggono perché sfasano la corrente in versi opposti, e solo il risultato si compone con R.

Qual è la formula della frequenza di risonanza?

f₀ = 1/(2π√(LC)). A quella frequenza le due reattanze sono uguali, si annullano, e l'impedenza si riduce alla sola resistenza: la corrente è massima.

Che cos'è il fattore di potenza?

È cos φ, cioè il coseno dello sfasamento fra tensione e corrente. Dice quale frazione della potenza apparente diventa potenza attiva: con cos φ = 1 tutta, con cos φ = 0 nessuna.

Quanto dura un transitorio RC?

La costante di tempo è τ = R·C. Dopo τ il condensatore è al 63%, dopo 3τ al 95% e dopo 5τ al 99%: convenzionalmente si considera concluso dopo cinque costanti di tempo.

Come funziona questo calcolo

Reattanza induttiva: Xʟ = 2π·f·L = ω·L. Reattanza capacitiva: Xᴄ = 1/(2π·f·C) = 1/(ω·C). Impedenza di un RLC serie: Z = √(R² + (Xʟ − Xᴄ)²). Sfasamento: tan φ = (Xʟ − Xᴄ)/R. Frequenza di risonanza: f₀ = 1/(2π·√(L·C)), dove Xʟ = Xᴄ e Z = R. Potenza attiva: P = V·I·cos φ, in watt. Potenza apparente: S = V·I, in voltampere. Potenza reattiva: Q = V·I·sin φ, in var. Transitorio RC: τ = R·C, con carica q(t) = Q(1 − e^(−t/τ)). Transitorio RL: τ = L/R, con corrente i(t) = I(1 − e^(−t/τ)). Dopo τ si raggiunge il 63%, dopo 3τ il 95%, dopo 5τ il 99%.

Condensatori

Capacità, carica, tensione ed energia, condensatore piano e capacità equivalente in serie e in parallelo.

Legge di Ohm

Tensione, corrente, resistenza, potenza dissipata e resistenze in serie e parallelo.

Poli e zeri

Poli, zeri e stabilità di una funzione di trasferimento.

Diagramma di Bode

Modulo, fase e margini di stabilità di H(s).