Fisica
Calcolatrice di poli e zeri
Inserisci i coefficienti di numeratore e denominatore di H(s): ottieni poli e zeri con la loro molteplicità, la mappa nel piano complesso e il verdetto di stabilità, letto dal segno della parte reale dei poli.
Che cosa dicono poli e zeri
Una funzione di trasferimento H(s) = K·N(s)/D(s) descrive un sistema lineare nel dominio di Laplace. Gli zeri sono le radici del numeratore, i punti in cui la risposta si annulla; i poli sono le radici del denominatore, i punti in cui va all'infinito. I poli contano più degli zeri perché ciascuno corrisponde a un modo proprio del sistema: un polo reale in −a dà un transitorio che decade come e^(−at), una coppia complessa coniugata dà un'oscillazione smorzata.
La stabilità si legge da un solo dato: il segno della parte reale dei poli. Se sono tutti a sinistra dell'asse immaginario ogni modo si spegne e il sistema è stabile; se anche uno solo sta a destra, quel modo cresce esponenzialmente e domina tutto il resto. Un polo esattamente sull'asse è il caso di confine: il sistema non diverge ma non si assesta, ed è quello che fa di un integratore un integratore e di una coppia immaginaria pura un oscillatore.
Gli zeri non decidono la stabilità, ma cambiano la forma della risposta. Uno zero nel semipiano destro rende il sistema a fase non minima: la risposta al gradino parte nella direzione opposta a quella finale prima di invertirsi, un comportamento che si incontra nel livello di un generatore di vapore e nel beccheggio di un velivolo. È un limite serio alla banda ottenibile in anello chiuso, e si vede sulla mappa prima che in qualunque simulazione.
Errori frequenti
- Leggere la stabilità dal modulo dei poli invece che dalla parte reale. Un polo in +5 e uno in −5 hanno lo stesso modulo e significati opposti: quello che conta è da che parte dell'asse immaginario si trovano.
- Cancellare un polo instabile con uno zero. Sulla carta il fattore sparisce, nella realtà no: la cancellazione non è mai esatta e il modo instabile resta, semplicemente nascosto dalla funzione di trasferimento ingresso-uscita.
- Dimenticare il polo nell'origine quando il denominatore ha termine noto nullo. In quel caso non esiste un guadagno statico: H(0) è infinito, e il sistema insegue a errore nullo un riferimento costante proprio perché integra.
Domande frequenti
Come si calcolano i poli di una funzione di trasferimento?
Si azzera il denominatore e si risolve l'equazione che ne risulta. Per un denominatore di primo o secondo grado bastano le formule note; oltre, serve un metodo numerico. Questa calcolatrice cerca tutte le radici insieme con il metodo di Durand-Kerner, quindi nessuna radice eredita l'errore di quelle trovate prima.
Quando un sistema è stabile?
Quando tutti i poli hanno parte reale strettamente negativa, cioè stanno nel semipiano sinistro. Basta un polo a destra per rendere il sistema instabile, e un polo sull'asse immaginario lo lascia al limite: né convergente né divergente.
Che differenza c'è fra un polo e uno zero?
Il polo è una radice del denominatore e corrisponde a un modo proprio del sistema, quindi decide la stabilità e la velocità del transitorio. Lo zero è una radice del numeratore e non crea modi: modifica quanto ciascun modo viene eccitato, e può alterare profondamente la forma della risposta senza toccarne la stabilità.
Che cos'è un sistema a fase non minima?
Un sistema con almeno uno zero nel semipiano destro. Resta stabile se i poli lo sono, ma la risposta al gradino parte nel verso sbagliato prima di correggersi, e in anello chiuso questo impone un limite alla banda passante che nessun regolatore può aggirare.
Perché i poli complessi arrivano sempre in coppia?
Perché i coefficienti del denominatore sono reali. Se a + bj annulla un polinomio a coefficienti reali, anche il suo coniugato a − bj lo annulla. La coppia corrisponde a un unico modo oscillatorio: la parte reale dà lo smorzamento, quella immaginaria la pulsazione.
Come funziona questo calcolo
H(s) = K·N(s)/D(s). Gli zeri sono le radici di N(s), i poli quelle di D(s). Stabilità: il sistema è asintoticamente stabile se e solo se Re(pᵢ) < 0 per ogni polo; è al limite se qualche polo ha Re = 0 e nessuno Re > 0; è instabile se qualche polo ha Re > 0. Guadagno statico: H(0) = K·N(0)/D(0), non definito quando D(0) = 0, cioè in presenza di poli nell'origine. Grado relativo: grado di D meno grado di N; dà la pendenza finale del diagramma di Bode, pari a −20·(grado relativo) dB/decade. Una coppia complessa −σ ± jω_d corrisponde a pulsazione naturale ω_n = √(σ² + ω_d²) e smorzamento ζ = σ/ω_n. Le radici sono cercate con il metodo di Durand-Kerner, che raffina tutte le stime insieme contro il polinomio di partenza invece di trovarne una e deflazionare; ogni gruppo di stime coincidenti viene poi rifinito con il metodo di Newton modificato per radici multiple, z ← z − m·p(z)/p′(z), perché vicino a una radice di molteplicità m nessuna iterazione ordinaria può fare meglio di eps^(1/m).