Física
Calculadora del diagrama de Bode
Introduce el numerador y el denominador de H(s): obtienes el diagrama del módulo en decibelios y el de la fase en grados, apilados sobre el mismo eje de frecuencias, con el margen de fase y el de ganancia.
Cómo se lee un diagrama de Bode
El diagrama de Bode muestra cómo responde un sistema a cada frecuencia, y lo hace con dos gráficas leídas juntas: el módulo de H(jω) en decibelios y su fase en grados, ambas sobre un eje de frecuencias logarítmico. La escala logarítmica no es una comodidad de dibujo: es lo que convierte el producto de los factores de H en una suma, y por tanto cada polo y cada cero en un tramo de recta que se suma a los demás. Por eso un diagrama de Bode puede trazarse a mano conociendo solo las frecuencias de codo.
Cada polo añade −20 dB por década a la pendiente del módulo y −90° a la fase; cada cero hace lo mismo con signo contrario, y el cambio ocurre en torno a la frecuencia de codo, que es el módulo de ese polo o cero. En la frecuencia de codo de un polo simple el módulo ya está 3 dB por debajo de la asíntota y la fase está en −45°, justo a mitad del salto: son los dos números con los que se comprueba un diagrama trazado a ojo.
Los dos números que de verdad importan son los márgenes. El margen de fase es cuánto se mantiene la fase por encima de −180° en la frecuencia donde el módulo cruza los 0 dB; el margen de ganancia es cuánto queda el módulo por debajo de los 0 dB en la frecuencia donde la fase cruza los −180°. Son la distancia al punto en que la realimentación deja de corregir el error y empieza a reforzarlo: márgenes positivos significan lazo cerrado estable, y márgenes amplios, un lazo que no oscila.
Errores frecuentes
- Leer el margen de fase en la frecuencia equivocada. Se lee donde el módulo cruza los 0 dB, no donde la fase cruza los −180°: en ese segundo punto se lee el margen de ganancia.
- Olvidar que la fase debe desenrollarse. Pasados los −180° el arcotangente salta a +180°, y un margen de fase leído en ese salto sale positivo mientras el sistema es inestable. Aquí la fase está desenrollada, y por eso desciende con continuidad.
- Trazar el módulo sobre un eje de frecuencias lineal. Las asíntotas dejan de ser rectas, las décadas se amontonan contra el borde izquierdo y el diagrama pierde justo la propiedad por la que existe.
Preguntas frecuentes
¿Qué es el margen de fase?
Es la distancia entre la fase y los −180° en la frecuencia donde el módulo vale 0 dB. Un margen de 45° o 60° es el compromiso habitual: por debajo de 30° la respuesta en lazo cerrado oscila mucho, por encima de 70° se regala ancho de banda.
¿Qué es el margen de ganancia?
Es cuántos decibelios puede subirse la ganancia antes de que el lazo cerrado se vuelva inestable. Se lee en la frecuencia donde la fase cruza los −180°, midiendo cuánto queda el módulo por debajo de los 0 dB en ese punto.
¿Por qué el eje de frecuencias es logarítmico?
Porque el módulo de un producto de factores es la suma de sus módulos en decibelios, y en escala logarítmica la aportación de cada polo y cada cero se convierte en un tramo recto. En escala lineal esas rectas se curvan y el diagrama deja de poder componerse a mano.
¿Cuánto vale la pendiente a altas frecuencias?
−20 dB por década por cada polo en exceso sobre los ceros, es decir, −20 veces el grado relativo. La fase tiende al mismo tiempo a −90° por cada uno de esos polos sobrantes.
¿A qué corresponde una frecuencia de codo?
Al módulo de un polo o de un cero. En torno a ella la pendiente del módulo cambia 20 dB por década y la fase da un salto de 90°, repartido aproximadamente en una década antes y otra después.
Cómo funciona este cálculo
Se evalúa H(jω) sustituyendo s = jω. Módulo en decibelios: 20·log₁₀|H(jω)|. Fase: arg H(jω), desenrollada para que no salte 360° al pasar de ±180°. La frecuencia de cruce de ganancia ω_c es aquella en la que el módulo vale 0 dB; el margen de fase es arg H(jω_c) + 180°. La frecuencia de cruce de fase ω_π es aquella en la que la fase vale −180°; el margen de ganancia es −20·log₁₀|H(jω_π)|. Las frecuencias de codo son los módulos de los polos y los ceros, y la ventana trazada va de dos décadas por debajo de la más baja a dos por encima de la más alta, de modo que el diagrama siga al sistema en vez de mostrar siempre el mismo intervalo. Pendiente final del módulo: −20·(grado relativo) dB/década; fase final: −90°·(grado relativo). Los cruces se obtienen por interpolación lineal entre las dos muestras que los rodean, en escala logarítmica de frecuencias y en decibelios de módulo, es decir, en las mismas coordenadas en que se dibuja el diagrama.