Física
Calculadora do diagrama de Bode
Informe o numerador e o denominador de H(s): você obtém o gráfico do módulo em decibéis e o da fase em graus, empilhados sobre o mesmo eixo de frequência, com a margem de fase e a margem de ganho.
Como ler um diagrama de Bode
Um diagrama de Bode mostra como um sistema responde em cada frequência, usando dois gráficos lidos juntos: o módulo de H(jω) em decibéis e a sua fase em graus, ambos sobre um eixo de frequência logarítmico. A escala logarítmica não é uma comodidade de desenho — é o que transforma o produto dos fatores de H em uma soma, e portanto cada polo e zero em um segmento reto que se soma aos outros. É por isso que um diagrama de Bode pode ser esboçado à mão só a partir das frequências de canto.
Cada polo acrescenta −20 dB por década à inclinação do módulo e −90° à fase; cada zero faz o mesmo com o sinal oposto; e a mudança acontece em torno da frequência de canto, que é o módulo daquele polo ou zero. Na frequência de canto de um polo simples o módulo já está 3 dB abaixo da assíntota e a fase está em −45°, exatamente na metade da sua excursão: são os dois números com que se confere um diagrama feito à mão.
Os dois números que realmente importam são as margens. A margem de fase é quanto a fase fica acima de −180° na frequência em que o módulo cruza 0 dB; a margem de ganho é quanto o módulo fica abaixo de 0 dB na frequência em que a fase cruza −180°. São a distância até o ponto em que a realimentação deixa de corrigir o erro e passa a reforçá-lo: margens positivas significam uma malha fechada estável, e margens amplas significam uma que não oscila.
Erros frequentes
- Ler a margem de fase na frequência errada. Ela é lida onde o módulo cruza 0 dB, não onde a fase cruza −180°: esse segundo ponto é onde se lê a margem de ganho.
- Esquecer que a fase precisa ser desenrolada. Passando de −180° o arco tangente salta de volta para +180°, e uma margem de fase lida nesse salto sai positiva enquanto o sistema é instável. Aqui a fase é desenrolada, e é por isso que desce de forma contínua.
- Traçar o módulo contra um eixo de frequência linear. As assíntotas deixam de ser retas, as décadas se amontoam na borda esquerda, e o diagrama perde justamente a propriedade para a qual existe.
Perguntas frequentes
O que é a margem de fase?
É a distância entre a fase e −180° na frequência em que o módulo vale 0 dB. Uma margem de 45° ou 60° é o compromisso usual: abaixo de 30° a resposta em malha fechada oscila muito, acima de 70° está-se abrindo mão de banda.
O que é a margem de ganho?
É quantos decibéis o ganho pode subir antes que a malha fechada fique instável. É lida na frequência em que a fase cruza −180°, medindo quanto o módulo fica abaixo de 0 dB ali.
Por que o eixo das frequências é logarítmico?
Porque o módulo de um produto de fatores é a soma dos seus módulos em decibéis, e em escala logarítmica a contribuição de cada polo e zero vira um segmento reto. Em escala linear essas retas viram curvas e o diagrama deixa de ser algo que se monta à mão.
Qual é a inclinação em alta frequência?
−20 dB por década para cada polo em excesso sobre os zeros — ou seja, −20 vezes o grau relativo. A fase tende ao mesmo tempo a −90° para cada um desses polos em excesso.
O que é uma frequência de canto?
O módulo de um polo ou de um zero. Em torno dela a inclinação do módulo muda em 20 dB por década e a fase varia 90°, distribuídos por cerca de uma década de cada lado.
Como funciona este cálculo
H(jω) é avaliada substituindo s = jω. Módulo em decibéis: 20·log₁₀|H(jω)|. Fase: arg H(jω), desenrolada para não saltar 360° ao passar por ±180°. A frequência de cruzamento de ganho ω_c é onde o módulo vale 0 dB; a margem de fase é arg H(jω_c) + 180°. A frequência de cruzamento de fase ω_π é onde a fase vale −180°; a margem de ganho é −20·log₁₀|H(jω_π)|. As frequências de canto são os módulos dos polos e dos zeros, e a janela traçada vai de duas décadas abaixo da menor a duas décadas acima da maior, para que o diagrama acompanhe o sistema em vez de mostrar sempre o mesmo intervalo. Inclinação final do módulo: −20·(grau relativo) dB por década; fase final: −90°·(grau relativo). Os cruzamentos são encontrados por interpolação linear entre as duas amostras que os cercam, em frequência logarítmica e em decibéis — as mesmas coordenadas em que o diagrama é traçado.