Fisica
Calcolatrice di dinamica dei fluidi: Bernoulli, Torricelli, Venturi
Scegli la relazione e cancella la grandezza incognita: il calcolatore inverte la formula al posto tuo. Tutto il capitolo nasce da due conservazioni: quella della massa, che dà la continuità, e quella dell'energia, che dà Bernoulli.
Due conservazioni e tutto il resto
La dinamica dei fluidi del liceo sta in due affermazioni. La prima è che la massa non sparisce: in un tubo pieno, la stessa portata attraversa ogni sezione, quindi dove la sezione si stringe il fluido corre più in fretta. La seconda è che l'energia non sparisce: lungo una linea di flusso la somma della pressione, dell'energia cinetica per unità di volume e dell'energia di quota resta la stessa. Da qui discende la parte che sorprende: dove il fluido è più veloce la pressione è più bassa, non più alta. Il getto d'acqua che scorre veloce fra due fogli li avvicina invece di allontanarli, e un'ala portante funziona per lo stesso motivo.
Torricelli e Venturi non sono leggi nuove: sono Bernoulli con un termine spento. Nel foro di un serbatoio la pressione è atmosferica dentro e fuori, restano velocità e quota, e viene fuori v = √(2gh), la stessa velocità della caduta libera. In un tubo orizzontale la quota è la stessa in ogni punto, restano pressione e velocità, e viene fuori il salto di pressione alla strozzatura che fa funzionare il venturimetro. Riconoscere quale termine si annulla è metà del lavoro in un problema d'esame.
Il resto del capitolo serve a ricordare che il fluido ideale non esiste. Poiseuille reintroduce la viscosità e mostra che la portata dipende dalla quarta potenza del raggio: un tubo appena più stretto oppone una resistenza molto maggiore, e questo conta in idraulica come in fisiologia. Il numero di Reynolds, infine, dice dove finisce il dominio delle formule ordinate: superata la soglia il moto diventa turbolento e nessuna delle relazioni precedenti descrive più ciò che succede davvero.
Errori frequenti
- Confondere portata e velocità. La portata è la stessa in tutto il tubo, la velocità no: è proprio perché la portata si conserva che la velocità cambia da una sezione all'altra.
- Pensare che dove il fluido è più veloce ci sia più pressione. È il contrario: l'energia cinetica in più viene presa dalla pressione, che infatti cala.
- Applicare Bernoulli a un fluido viscoso su lunghe distanze. Nella forma usata qui non c'è alcun termine di attrito: su un tubo lungo o stretto la pressione cala anche a velocità costante, ed è Poiseuille a dirlo.
- Dimenticare che in Poiseuille il raggio entra alla quarta. Dimezzarlo non dimezza la portata: la riduce a un sedicesimo.
- Usare le formule del moto laminare oltre la transizione. Se il numero di Reynolds supera qualche migliaio il moto è turbolento e la portata non è più proporzionale alla differenza di pressione.
Domande frequenti
Perché il fluido accelera dove il tubo si stringe?
Perché nel tubo non si accumula niente: la stessa portata deve attraversare ogni sezione. Se l'area si dimezza la velocità raddoppia, perché il prodotto A·v resta costante. È l'equazione di continuità, e non è altro che la conservazione della massa.
Perché dove la velocità è maggiore la pressione è minore?
Perché lungo una linea di flusso la somma p + ½ρv² + ρgh è costante. Se l'energia cinetica del fluido aumenta, qualcosa deve calare, e a parità di quota è la pressione. Per accelerare il fluido serve una spinta netta, che può venire solo da una pressione più alta a monte che a valle.
Che cosa dice il teorema di Torricelli?
Che l'acqua esce da un foro con la stessa velocità che avrebbe un corpo lasciato cadere dal pelo libero fino a quella quota: v = √(2gh). Non dipende dalla densità del liquido né dalla massa, esattamente come la caduta libera.
Perché un'arteria ristretta riduce così tanto il flusso?
Per la quarta potenza nella legge di Poiseuille: Q è proporzionale a r⁴. Un raggio ridotto del 20% lascia passare circa il 41% del flusso, e un raggio dimezzato appena un sedicesimo. È il motivo per cui una stenosi modesta ha effetti sproporzionati.
A cosa serve il numero di Reynolds?
A capire se il moto è laminare o turbolento. È il rapporto fra le forze d'inerzia e quelle viscose: sotto circa 2000 gli strati di fluido scorrono ordinati, sopra 4000 si mescolano. Le formule per il moto laminare, Poiseuille in testa, valgono solo al di sotto della transizione.
Come funziona questo calcolo
Portata volumetrica: Q = A·v. Equazione di continuità per un fluido incomprimibile: A₁·v₁ = A₂·v₂, cioè Q costante lungo il condotto. Equazione di Bernoulli lungo una linea di flusso, fluido ideale e stazionario: p₁ + ½ρv₁² + ρg·h₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρg·h₂. Teorema di Torricelli, caso particolare con pressione atmosferica su entrambe le superfici e serbatoio largo: v = √(2·g·h). Effetto Venturi, caso particolare con h₁ = h₂: Δp = p₁ − p₂ = ½ρ·(v₂² − v₁²). Legge di Hagen-Poiseuille per il moto laminare di un fluido viscoso in un tubo cilindrico: Q = π·Δp·r⁴/(8·η·L); la resistenza idraulica è R = Δp/Q = 8ηL/(πr⁴) e la velocità media vale Q/(πr²). Numero di Reynolds: Re = ρ·v·D/η, adimensionale; la velocità critica riportata è quella per cui Re raggiunge 2300. In tutti i calcoli g = 9,81 m/s².