Fizyka
Kalkulator dynamiki płynów: Bernoulli, Torricelli, Venturi
Wybierz zależność i wyczyść szukaną wielkość: kalkulator sam przekształci wzór. Cały rozdział wynika z dwóch zasad zachowania — masy, która daje równanie ciągłości, i energii, która daje Bernoulliego.
Dwie zasady zachowania i cała reszta
Szkolna dynamika płynów sprowadza się do dwóch zdań. Pierwsze: masa nie znika. W pełnej rurze to samo natężenie przepływu przechodzi przez każdy przekrój, więc tam, gdzie przekrój się zwęża, płyn płynie szybciej. Drugie: energia też nie znika. Wzdłuż linii prądu suma ciśnienia, energii kinetycznej na jednostkę objętości i członu wysokości pozostaje ta sama. Stąd bierze się część, która wszystkich zaskakuje — tam, gdzie płyn jest szybszy, ciśnienie jest niższe, a nie wyższe. Szybki strumień wody między dwiema kartkami zbliża je do siebie, zamiast je rozsuwać, i z tego samego powodu nosi skrzydło.
Torricelli i Venturi nie są nowymi prawami: to Bernoulli z wygaszonym jednym członem. W otworze zbiornika ciśnienie jest atmosferyczne po obu stronach, zostają prędkość i wysokość, i wychodzi v = √(2gh), czyli prędkość spadku swobodnego. W rurze poziomej wysokość jest wszędzie ta sama, zostają ciśnienie i prędkość, i wychodzi skok ciśnienia w przewężeniu, na którym działa zwężka Venturiego. Rozpoznanie, który człon się zeruje, to połowa pracy w zadaniu egzaminacyjnym.
Reszta rozdziału przypomina, że płyn doskonały nie istnieje. Poiseuille przywraca lepkość i pokazuje, że przepływ zależy od czwartej potęgi promienia: nieco węższa rurka stawia nieporównanie większy opór, co liczy się zarówno w hydraulice, jak i w fizjologii. Liczba Reynoldsa wyznacza wreszcie granicę uporządkowanych wzorów: po przekroczeniu progu ruch staje się turbulentny i żadna z wcześniejszych zależności nie opisuje już tego, co naprawdę się dzieje.
Częste błędy
- Mylenie natężenia przepływu z prędkością. Przepływ jest taki sam w całej rurze, prędkość nie: właśnie dlatego, że przepływ się zachowuje, prędkość zmienia się od przekroju do przekroju.
- Sądzenie, że tam, gdzie płyn jest szybszy, panuje wyższe ciśnienie. Jest odwrotnie: dodatkowa energia kinetyczna pochodzi z ciśnienia, które dlatego spada.
- Stosowanie Bernoulliego do lepkiego płynu na długich odcinkach. W użytej tu postaci nie ma żadnego członu tarcia: w długiej lub wąskiej rurce ciśnienie spada nawet przy stałej prędkości — i mówi o tym Poiseuille.
- Zapominanie, że u Poiseuille'a promień wchodzi w czwartej potędze. Zmniejszenie go o połowę nie zmniejsza przepływu o połowę: zostawia jedną szesnastą.
- Używanie wzorów przepływu laminarnego po przekroczeniu przejścia. Gdy liczba Reynoldsa sięga tysięcy, ruch jest turbulentny, a przepływ przestaje być proporcjonalny do różnicy ciśnień.
Często zadawane pytania
Dlaczego płyn przyspiesza tam, gdzie rura się zwęża?
Bo nic się w niej nie gromadzi: to samo natężenie przepływu musi przejść przez każdy przekrój. Gdy pole maleje o połowę, prędkość się podwaja, bo iloczyn A·v pozostaje stały. To równanie ciągłości, czyli nic innego niż zasada zachowania masy.
Dlaczego ciśnienie jest mniejsze tam, gdzie prędkość jest większa?
Bo wzdłuż linii prądu suma p + ½ρv² + ρgh jest stała. Jeśli rośnie energia kinetyczna płynu, coś musi zmaleć, a przy tej samej wysokości jest to ciśnienie. Przyspieszenie płynu wymaga wypadkowego pchnięcia, a to może pochodzić tylko z wyższego ciśnienia z tyłu niż z przodu.
Co mówi prawo Torricellego?
Że woda wypływa z otworu z prędkością, jaką miałoby ciało puszczone ze swobodnej powierzchni na ten poziom: v = √(2gh). Nie zależy to ani od gęstości cieczy, ani od żadnej masy — dokładnie jak w spadku swobodnym.
Dlaczego zwężona tętnica tak bardzo ogranicza przepływ?
Przez czwartą potęgę w prawie Poiseuille'a: Q zmienia się jak r⁴. Promień mniejszy o 20% przepuszcza około 41% przepływu, a promień o połowie mniejszy tylko jedną szesnastą. Dlatego umiarkowane zwężenie ma nieproporcjonalne skutki.
Do czego służy liczba Reynoldsa?
Do rozstrzygnięcia, czy ruch jest laminarny, czy turbulentny. To stosunek sił bezwładności do sił lepkości: poniżej około 2000 warstwy płynu przesuwają się po sobie w porządku, powyżej 4000 się mieszają. Wzory dla przepływu laminarnego, z Poiseuille'em na czele, obowiązują tylko poniżej przejścia.
Jak działa to obliczenie
Objętościowe natężenie przepływu: Q = A·v. Równanie ciągłości dla płynu nieściśliwego: A₁·v₁ = A₂·v₂, czyli Q stałe wzdłuż przewodu. Równanie Bernoulliego wzdłuż linii prądu, dla płynu doskonałego w przepływie ustalonym: p₁ + ½ρv₁² + ρg·h₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρg·h₂. Prawo Torricellego, przypadek szczególny z ciśnieniem atmosferycznym po obu stronach i szerokim zbiornikiem: v = √(2·g·h). Efekt Venturiego, przypadek szczególny z h₁ = h₂: Δp = p₁ − p₂ = ½ρ·(v₂² − v₁²). Prawo Hagena-Poiseuille'a dla przepływu laminarnego lepkiego płynu przez rurkę cylindryczną: Q = π·Δp·r⁴/(8·η·L); opór hydrauliczny wynosi R = Δp/Q = 8ηL/(πr⁴), a prędkość średnia Q/(πr²). Liczba Reynoldsa: Re = ρ·v·D/η, bezwymiarowa; podana prędkość krytyczna to ta, przy której Re osiąga 2300. We wszystkich obliczeniach g = 9,81 m/s².