Physique
Calculatrice de dynamique des fluides : Bernoulli, Torricelli, Venturi
Choisis la relation et efface la grandeur cherchée : la calculatrice inverse la formule à ta place. Tout le chapitre découle de deux conservations : celle de la masse, qui donne la continuité, et celle de l'énergie, qui donne Bernoulli.
Deux conservations, et tout le reste
La dynamique des fluides du lycée tient en deux affirmations. La première : la masse ne disparaît pas. Dans un tube plein, le même débit traverse chaque section, donc là où la section se resserre le fluide va plus vite. La seconde : l'énergie ne disparaît pas non plus. Le long d'une ligne de courant, la somme de la pression, de l'énergie cinétique par unité de volume et du terme d'altitude reste identique. D'où la partie qui surprend : là où le fluide est plus rapide, la pression est plus basse, et non plus haute. Un jet d'eau rapide entre deux feuilles les rapproche au lieu de les écarter, et une aile porte pour la même raison.
Torricelli et Venturi ne sont pas des lois nouvelles : c'est Bernoulli avec un terme éteint. Au trou d'un réservoir, la pression est atmosphérique dedans comme dehors, il reste la vitesse et l'altitude, et il sort v = √(2gh), la vitesse de la chute libre. Dans un tube horizontal, l'altitude est la même partout, il reste la pression et la vitesse, et il sort le saut de pression au col qui fait marcher le tube de Venturi. Reconnaître quel terme s'annule, c'est la moitié du travail dans un problème d'examen.
Le reste du chapitre rappelle que le fluide parfait n'existe pas. Poiseuille remet la viscosité et montre que le débit dépend de la puissance quatre du rayon : un tube à peine plus étroit résiste bien davantage, ce qui compte en plomberie comme en physiologie. Le nombre de Reynolds, enfin, marque où s'arrêtent les formules bien rangées : passé le seuil, le mouvement devient turbulent et aucune des relations précédentes ne décrit plus ce qui se passe.
Erreurs fréquentes
- Confondre débit et vitesse. Le débit est le même dans tout le tube, la vitesse non : c'est précisément parce que le débit se conserve que la vitesse change d'une section à l'autre.
- Croire qu'il y a plus de pression là où le fluide est plus rapide. C'est l'inverse : l'énergie cinétique supplémentaire est prise sur la pression, qui baisse donc.
- Appliquer Bernoulli à un fluide visqueux sur de longues distances. Sous la forme utilisée ici, il n'y a aucun terme de frottement : dans un tube long ou étroit la pression chute même à vitesse constante, et c'est Poiseuille qui le dit.
- Oublier que le rayon entre à la puissance quatre chez Poiseuille. Le diviser par deux ne divise pas le débit par deux : il le réduit au seizième.
- Utiliser les formules de l'écoulement laminaire au-delà de la transition. Si le nombre de Reynolds atteint quelques milliers, le mouvement est turbulent et le débit n'est plus proportionnel à la différence de pression.
Questions fréquentes
Pourquoi le fluide accélère-t-il là où le tube se resserre ?
Parce que rien ne s'y accumule : le même débit doit traverser chaque section. Si l'aire est divisée par deux, la vitesse double, car le produit A·v reste constant. C'est l'équation de continuité, qui n'est rien d'autre que la conservation de la masse.
Pourquoi la pression est-elle plus faible là où la vitesse est plus grande ?
Parce que, le long d'une ligne de courant, la somme p + ½ρv² + ρgh est constante. Si l'énergie cinétique du fluide augmente, quelque chose doit baisser, et à altitude égale c'est la pression. Accélérer le fluide demande une poussée nette, qui ne peut venir que d'une pression plus forte en amont qu'en aval.
Que dit le théorème de Torricelli ?
Que l'eau sort d'un trou à la vitesse qu'aurait un corps lâché depuis la surface libre jusqu'à ce niveau : v = √(2gh). Cela ne dépend ni de la masse volumique du liquide ni d'aucune masse, exactement comme en chute libre.
Pourquoi une artère rétrécie réduit-elle autant le débit ?
À cause de la puissance quatre dans la loi de Poiseuille : Q varie comme r⁴. Un rayon réduit de 20 % ne laisse passer qu'environ 41 % du débit, et un rayon divisé par deux seulement un seizième. C'est pourquoi une sténose modeste a des effets disproportionnés.
À quoi sert le nombre de Reynolds ?
À savoir si le mouvement est laminaire ou turbulent. C'est le rapport des forces d'inertie aux forces visqueuses : en dessous de 2000 environ les couches de fluide glissent en ordre, au-dessus de 4000 elles se mélangent. Les formules de l'écoulement laminaire, Poiseuille en tête, ne valent qu'en deçà de la transition.
Comment ce calcul fonctionne
Débit volumique : Q = A·v. Équation de continuité pour un fluide incompressible : A₁·v₁ = A₂·v₂, c'est-à-dire Q constant le long de la conduite. Équation de Bernoulli le long d'une ligne de courant, fluide parfait en régime permanent : p₁ + ½ρv₁² + ρg·h₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρg·h₂. Théorème de Torricelli, cas particulier avec pression atmosphérique sur les deux surfaces et réservoir large : v = √(2·g·h). Effet Venturi, cas particulier avec h₁ = h₂ : Δp = p₁ − p₂ = ½ρ·(v₂² − v₁²). Loi de Hagen-Poiseuille pour l'écoulement laminaire d'un fluide visqueux dans un tube cylindrique : Q = π·Δp·r⁴/(8·η·L) ; la résistance hydraulique vaut R = Δp/Q = 8ηL/(πr⁴) et la vitesse moyenne Q/(πr²). Nombre de Reynolds : Re = ρ·v·D/η, sans dimension ; la vitesse critique indiquée est celle pour laquelle Re atteint 2300. Tous les calculs utilisent g = 9,81 m/s².