Physik
Strömungslehre-Rechner: Bernoulli, Torricelli, Venturi
Wähle die Beziehung und lösche die gesuchte Größe: Der Rechner stellt die Formel für dich um. Das ganze Kapitel folgt aus zwei Erhaltungssätzen — dem der Masse, der die Kontinuität liefert, und dem der Energie, der Bernoulli liefert.
Zwei Erhaltungssätze und alles Weitere
Die Strömungslehre der Schule steckt in zwei Sätzen. Der erste: Masse verschwindet nicht. In einem vollen Rohr durchquert derselbe Volumenstrom jeden Querschnitt, also strömt die Flüssigkeit dort schneller, wo es enger wird. Der zweite: Energie verschwindet auch nicht. Längs einer Stromlinie bleibt die Summe aus Druck, kinetischer Energie pro Volumen und Höhenterm dieselbe. Daraus folgt der Teil, der alle überrascht — wo die Flüssigkeit schneller ist, ist der Druck kleiner, nicht größer. Ein schneller Wasserstrahl zwischen zwei Blättern zieht sie zusammen, statt sie auseinanderzudrücken, und eine Tragfläche trägt aus demselben Grund.
Torricelli und Venturi sind keine neuen Gesetze: Es ist Bernoulli mit einem abgeschalteten Term. Am Loch eines Behälters herrscht innen wie außen Luftdruck, übrig bleiben Geschwindigkeit und Höhe, und heraus kommt v = √(2gh), die Geschwindigkeit des freien Falls. In einem waagerechten Rohr ist die Höhe überall gleich, übrig bleiben Druck und Geschwindigkeit, und heraus kommt der Drucksprung an der Engstelle, auf dem das Venturirohr beruht. Zu erkennen, welcher Term wegfällt, ist die halbe Arbeit in einer Prüfungsaufgabe.
Der Rest des Kapitels erinnert daran, dass es die ideale Flüssigkeit nicht gibt. Poiseuille holt die Zähigkeit zurück und zeigt, dass der Volumenstrom von der vierten Potenz des Radius abhängt: Ein kaum engeres Rohr setzt weit mehr Widerstand entgegen, was in der Installationstechnik so zählt wie in der Physiologie. Die Reynolds-Zahl schließlich markiert, wo die ordentlichen Formeln enden: Jenseits der Schwelle wird die Strömung turbulent, und keine der früheren Beziehungen beschreibt mehr, was wirklich geschieht.
Häufige Fehler
- Volumenstrom und Geschwindigkeit verwechseln. Der Volumenstrom ist im ganzen Rohr gleich, die Geschwindigkeit nicht: Gerade weil der Volumenstrom erhalten bleibt, ändert sich die Geschwindigkeit von Querschnitt zu Querschnitt.
- Zu meinen, wo die Flüssigkeit schneller ist, herrsche mehr Druck. Es ist umgekehrt: Die zusätzliche kinetische Energie wird dem Druck entnommen, der deshalb sinkt.
- Bernoulli über lange Strecken auf eine zähe Flüssigkeit anzuwenden. In der hier verwendeten Form gibt es keinen Reibungsterm: In einem langen oder engen Rohr fällt der Druck auch bei konstanter Geschwindigkeit — wie stark, sagt Poiseuille.
- Zu vergessen, dass der Radius bei Poiseuille in der vierten Potenz steht. Ihn zu halbieren halbiert nicht den Volumenstrom, sondern lässt ein Sechzehntel übrig.
- Die Formeln der laminaren Strömung über den Übergang hinaus zu verwenden. Geht die Reynolds-Zahl in die Tausende, ist die Strömung turbulent und der Volumenstrom nicht mehr proportional zur Druckdifferenz.
Häufige Fragen
Warum wird die Flüssigkeit dort schneller, wo das Rohr enger wird?
Weil sich im Rohr nichts ansammelt: Derselbe Volumenstrom muss jeden Querschnitt durchqueren. Halbiert sich die Fläche, verdoppelt sich die Geschwindigkeit, denn das Produkt A·v bleibt konstant. Das ist die Kontinuitätsgleichung — nichts anderes als Massenerhaltung.
Warum ist der Druck dort kleiner, wo die Geschwindigkeit größer ist?
Weil längs einer Stromlinie die Summe p + ½ρv² + ρgh konstant ist. Steigt die kinetische Energie, muss etwas anderes sinken, und bei gleicher Höhe ist das der Druck. Zum Beschleunigen braucht es eine resultierende Kraft, und die kann nur aus höherem Druck dahinter als davor kommen.
Was besagt das Gesetz von Torricelli?
Dass Wasser mit der Geschwindigkeit aus einem Loch tritt, die ein von der freien Oberfläche bis dorthin fallender Körper hätte: v = √(2gh). Es hängt weder von der Dichte der Flüssigkeit noch von einer Masse ab, genau wie beim freien Fall.
Warum senkt eine verengte Arterie den Fluss so stark?
Wegen der vierten Potenz im Gesetz von Poiseuille: Q geht mit r⁴. Ein um 20 % kleinerer Radius lässt noch etwa 41 % des Flusses durch, ein halbierter Radius nur ein Sechzehntel. Deshalb hat schon eine mäßige Stenose unverhältnismäßige Folgen.
Wozu dient die Reynolds-Zahl?
Um zu entscheiden, ob die Strömung laminar oder turbulent ist. Sie ist das Verhältnis von Trägheits- zu Zähigkeitskräften: unter etwa 2000 gleiten die Schichten geordnet aneinander vorbei, über 4000 vermischen sie sich. Die Formeln für laminare Strömung, allen voran Poiseuille, gelten nur unterhalb des Übergangs.
Wie diese Berechnung funktioniert
Volumenstrom: Q = A·v. Kontinuitätsgleichung für eine inkompressible Flüssigkeit: A₁·v₁ = A₂·v₂, also Q konstant längs des Rohres. Bernoulli-Gleichung längs einer Stromlinie, ideale Flüssigkeit und stationäre Strömung: p₁ + ½ρv₁² + ρg·h₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρg·h₂. Gesetz von Torricelli, der Sonderfall mit Luftdruck auf beiden Oberflächen und weitem Behälter: v = √(2·g·h). Venturi-Effekt, der Sonderfall mit h₁ = h₂: Δp = p₁ − p₂ = ½ρ·(v₂² − v₁²). Gesetz von Hagen-Poiseuille für die laminare Strömung einer zähen Flüssigkeit durch ein zylindrisches Rohr: Q = π·Δp·r⁴/(8·η·L); der Strömungswiderstand ist R = Δp/Q = 8ηL/(πr⁴), die mittlere Geschwindigkeit Q/(πr²). Reynolds-Zahl: Re = ρ·v·D/η, dimensionslos; die angegebene kritische Geschwindigkeit ist die, bei der Re den Wert 2300 erreicht. Alle Rechnungen verwenden g = 9,81 m/s².