Physik
Rechner für Pole und Nullstellen
Gib die Koeffizienten von Zähler und Nenner von H(s) ein: du erhältst Pole und Nullstellen mit ihrer Vielfachheit, die Karte in der komplexen Ebene und das Stabilitätsurteil, abgelesen am Vorzeichen der Realteile der Pole.
Was Pole und Nullstellen aussagen
Eine Übertragungsfunktion H(s) = K·N(s)/D(s) beschreibt ein lineares System im Laplace-Bereich. Die Nullstellen sind die Wurzeln des Zählers, dort verschwindet die Antwort; die Pole sind die Wurzeln des Nenners, dort läuft sie ins Unendliche. Pole wiegen schwerer als Nullstellen, weil jeder für eine Eigenbewegung des Systems steht: ein reeller Pol bei −a gibt einen Übergang, der wie e^(−at) abklingt, ein konjugiert komplexes Paar eine gedämpfte Schwingung.
Die Stabilität hängt an einer einzigen Größe: dem Vorzeichen der Realteile. Liegen alle links der imaginären Achse, klingt jede Eigenbewegung ab und das System ist stabil; liegt auch nur einer rechts, wächst diese Bewegung exponentiell und überdeckt alles andere. Ein Pol genau auf der Achse ist der Grenzfall – er divergiert nicht und kommt nicht zur Ruhe, und genau das macht einen Integrator zum Integrator und ein rein imaginäres Paar zum Schwinger.
Nullstellen entscheiden nicht über die Stabilität, verändern aber die Form der Antwort. Eine Nullstelle in der rechten Halbebene macht das System nicht phasenminimal: die Sprungantwort beginnt entgegen ihrer späteren Richtung und dreht erst danach um – ein Verhalten, das man am Füllstand eines Dampferzeugers und an der Nicklage eines Flugzeugs kennt. Das ist eine harte Schranke für die erreichbare Bandbreite und auf der Karte früher zu sehen als in jeder Simulation.
Häufige Fehler
- Die Stabilität am Betrag der Pole ablesen statt am Realteil. Ein Pol bei +5 und einer bei −5 haben denselben Betrag und entgegengesetzte Bedeutung: es zählt, auf welcher Seite der imaginären Achse sie liegen.
- Einen instabilen Pol mit einer Nullstelle kürzen. Auf dem Papier verschwindet der Faktor, im System nicht. Die Kürzung ist nie exakt, und die instabile Eigenbewegung bleibt – nur vor der Ein-Ausgangs-Übertragungsfunktion verborgen.
- Den Pol im Ursprung übersehen, wenn der Nenner kein Absolutglied hat. Dann gibt es keine statische Verstärkung: H(0) ist unendlich, und das System folgt einer konstanten Führungsgröße gerade deshalb ohne bleibende Regelabweichung, weil es integriert.
Häufige Fragen
Wie berechnet man die Pole einer Übertragungsfunktion?
Man setzt den Nenner null und löst die entstehende Gleichung. Bei Grad eins oder zwei genügen die bekannten Formeln, darüber hinaus braucht es ein numerisches Verfahren. Dieser Rechner sucht alle Wurzeln zugleich mit dem Verfahren von Durand und Kerner, sodass keine den Fehler der zuvor gefundenen erbt.
Wann ist ein System stabil?
Wenn alle Pole einen streng negativen Realteil haben, also in der linken Halbebene liegen. Ein einziger Pol rechts macht das System instabil, und ein Pol auf der imaginären Achse lässt es an der Grenze: weder konvergent noch divergent.
Worin unterscheiden sich Pol und Nullstelle?
Der Pol ist eine Wurzel des Nenners und steht für eine Eigenbewegung, entscheidet also über Stabilität und Schnelligkeit des Übergangs. Die Nullstelle ist eine Wurzel des Zählers und erzeugt keine Eigenbewegung: sie ändert, wie stark jede angeregt wird, und kann die Form der Antwort völlig umgestalten, ohne die Stabilität zu berühren.
Was ist ein nicht phasenminimales System?
Eines mit mindestens einer Nullstelle in der rechten Halbebene. Es bleibt stabil, wenn seine Pole es sind, aber die Sprungantwort läuft zuerst in die falsche Richtung, und im geschlossenen Kreis setzt das eine Bandbreitenschranke, die kein Regler umgehen kann.
Warum treten komplexe Pole immer paarweise auf?
Weil die Nennerkoeffizienten reell sind. Ist a + bj Wurzel eines Polynoms mit reellen Koeffizienten, so ist es auch das Konjugierte a − bj. Das Paar steht für eine einzige schwingende Eigenbewegung: der Realteil gibt die Dämpfung, der Imaginärteil die Frequenz.
Wie diese Berechnung funktioniert
H(s) = K·N(s)/D(s). Die Nullstellen sind die Wurzeln von N(s), die Pole die von D(s). Stabilität: das System ist genau dann asymptotisch stabil, wenn Re(pᵢ) < 0 für jeden Pol gilt; grenzstabil, wenn ein Pol Re = 0 hat und keiner Re > 0; instabil, wenn ein Pol Re > 0 hat. Statische Verstärkung: H(0) = K·N(0)/D(0), nicht definiert bei D(0) = 0, also bei Polen im Ursprung. Relativer Grad: Grad von D minus Grad von N; er gibt die Endsteigung des Bode-Diagramms, −20·(relativer Grad) dB je Dekade. Ein komplexes Paar −σ ± jω_d hat die Kennkreisfrequenz ω_n = √(σ² + ω_d²) und die Dämpfung ζ = σ/ω_n. Die Wurzeln werden mit dem Verfahren von Durand und Kerner gesucht, das alle Schätzungen gemeinsam am Ausgangspolynom verfeinert, statt eine zu finden und abzuspalten; jede Gruppe zusammenfallender Schätzungen wird danach mit dem für mehrfache Wurzeln angepassten Newton-Verfahren nachgezogen, z ← z − m·p(z)/p′(z), denn nahe einer Wurzel der Vielfachheit m kommt keine gewöhnliche Iteration über eps^(1/m) hinaus.