Fizyka
Kalkulator biegunów i zer
Podaj współczynniki licznika i mianownika H(s): otrzymasz bieguny i zera wraz z krotnością, mapę na płaszczyźnie zespolonej oraz ocenę stabilności, odczytaną ze znaku części rzeczywistej biegunów.
Co mówią bieguny i zera
Transmitancja H(s) = K·N(s)/D(s) opisuje układ liniowy w dziedzinie Laplace'a. Zera to pierwiastki licznika, punkty, w których odpowiedź się zeruje; bieguny to pierwiastki mianownika, w których biegnie do nieskończoności. Bieguny ważą więcej niż zera, bo każdy odpowiada modzie własnej układu: biegun rzeczywisty w −a daje przebieg zanikający jak e^(−at), a para zespolona sprzężona — drganie tłumione.
Stabilność odczytuje się z jednej rzeczy: ze znaku części rzeczywistej biegunów. Jeśli wszystkie leżą po lewej stronie osi urojonej, każda moda zanika i układ jest stabilny; jeśli choć jeden leży po prawej, ta moda rośnie wykładniczo i przesłania całą resztę. Biegun dokładnie na osi to przypadek graniczny: nie rozbiega się i nie ustala, i to właśnie czyni z integratora integrator, a z pary czysto urojonej — oscylator.
Zera nie rozstrzygają o stabilności, ale zmieniają kształt odpowiedzi. Zero w prawej półpłaszczyźnie czyni układ nieminimalnofazowym: odpowiedź skokowa rusza w stronę przeciwną do docelowej, zanim zawróci — tak zachowuje się poziom wody w walczaku i pochylenie samolotu. To twarde ograniczenie pasma w zamkniętej pętli, widoczne na mapie wcześniej niż w jakiejkolwiek symulacji.
Częste błędy
- Odczytywanie stabilności z modułu biegunów zamiast z części rzeczywistej. Biegun w +5 i w −5 mają ten sam moduł i przeciwne znaczenie: liczy się, po której stronie osi urojonej leżą.
- Skracanie niestabilnego bieguna zerem. Na papierze czynnik znika, w układzie nie. Skrócenie nigdy nie jest dokładne, a niestabilna moda pozostaje — tyle że ukryta przed transmitancją wejście-wyjście.
- Pominięcie bieguna w początku układu, gdy mianownik nie ma wyrazu wolnego. Wtedy nie ma wzmocnienia statycznego: H(0) jest nieskończone, a układ nadąża za stałą wartością zadaną bez uchybu właśnie dlatego, że całkuje.
Najczęstsze pytania
Jak obliczyć bieguny transmitancji?
Przyrównuje się mianownik do zera i rozwiązuje powstałe równanie. Dla stopnia pierwszego i drugiego wystarczą znane wzory, wyżej potrzebna jest metoda numeryczna. Ten kalkulator szuka wszystkich pierwiastków naraz metodą Duranda-Kernera, więc żaden nie dziedziczy błędu wcześniej znalezionych.
Kiedy układ jest stabilny?
Gdy wszystkie bieguny mają ściśle ujemną część rzeczywistą, czyli leżą w lewej półpłaszczyźnie. Wystarczy jeden biegun po prawej, by układ był niestabilny, a biegun na osi urojonej zostawia go na granicy: ani zbieżny, ani rozbieżny.
Czym różni się biegun od zera?
Biegun jest pierwiastkiem mianownika i odpowiada modzie własnej, więc rozstrzyga o stabilności i szybkości przebiegu. Zero jest pierwiastkiem licznika i nie tworzy mod: zmienia, jak silnie każda z nich jest wzbudzana, i potrafi całkowicie przekształcić kształt odpowiedzi, nie naruszając jej stabilności.
Czym jest układ nieminimalnofazowy?
Takim, który ma co najmniej jedno zero w prawej półpłaszczyźnie. Pozostaje stabilny, jeśli stabilne są bieguny, ale odpowiedź skokowa rusza najpierw w złą stronę, a w zamkniętej pętli narzuca to ograniczenie pasma, którego żaden regulator nie obejdzie.
Dlaczego bieguny zespolone zawsze występują parami?
Bo współczynniki mianownika są rzeczywiste. Jeśli a + bj zeruje wielomian o współczynnikach rzeczywistych, zeruje go też sprzężenie a − bj. Para odpowiada jednej modzie drgającej: część rzeczywista daje tłumienie, urojona — pulsację.
Jak działa to obliczenie
H(s) = K·N(s)/D(s). Zera to pierwiastki N(s), bieguny to pierwiastki D(s). Stabilność: układ jest asymptotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy Re(pᵢ) < 0 dla każdego bieguna; jest na granicy, gdy któryś ma Re = 0 i żaden Re > 0; jest niestabilny, gdy któryś ma Re > 0. Wzmocnienie statyczne: H(0) = K·N(0)/D(0), nieokreślone gdy D(0) = 0, czyli przy biegunach w początku układu. Stopień względny: stopień D minus stopień N; daje końcowe nachylenie wykresu Bodego, −20·(stopień względny) dB na dekadę. Para zespolona −σ ± jω_d ma pulsację własną ω_n = √(σ² + ω_d²) i tłumienie ζ = σ/ω_n. Pierwiastki wyznacza metoda Duranda-Kernera, która udoskonala wszystkie przybliżenia razem względem wyjściowego wielomianu, zamiast znajdować jedno i deflować; każda grupa pokrywających się przybliżeń jest następnie dopracowywana metodą Newtona przystosowaną do pierwiastków wielokrotnych, z ← z − m·p(z)/p′(z), bo w pobliżu pierwiastka o krotności m żadna zwykła iteracja nie zejdzie poniżej eps^(1/m).