Física
Calculadora de polos y ceros
Introduce los coeficientes del numerador y del denominador de H(s): obtienes los polos y ceros con su multiplicidad, el mapa en el plano complejo y el veredicto de estabilidad, leído del signo de la parte real de los polos.
Qué dicen los polos y los ceros
Una función de transferencia H(s) = K·N(s)/D(s) describe un sistema lineal en el dominio de Laplace. Los ceros son las raíces del numerador, los puntos donde la respuesta se anula; los polos son las raíces del denominador, donde se va al infinito. Los polos pesan más que los ceros porque cada uno corresponde a un modo propio del sistema: un polo real en −a da un transitorio que decae como e^(−at), y un par complejo conjugado da una oscilación amortiguada.
La estabilidad se lee de un solo dato: el signo de la parte real de los polos. Si todos quedan a la izquierda del eje imaginario, cada modo se extingue y el sistema es estable; si uno solo queda a la derecha, ese modo crece exponencialmente y domina todo lo demás. Un polo justo sobre el eje es el caso frontera: el sistema no diverge pero no se asienta, y es lo que hace de un integrador un integrador y de un par imaginario puro un oscilador.
Los ceros no deciden la estabilidad, pero cambian la forma de la respuesta. Un cero en el semiplano derecho hace el sistema de fase no mínima: la respuesta al escalón sale en sentido opuesto al final antes de invertirse, un comportamiento que se encuentra en el nivel de una caldera y en el cabeceo de un avión. Es un límite serio al ancho de banda en lazo cerrado, y se ve en el mapa antes que en ninguna simulación.
Errores frecuentes
- Leer la estabilidad del módulo de los polos en vez de su parte real. Un polo en +5 y otro en −5 tienen el mismo módulo y significados opuestos: lo que cuenta es a qué lado del eje imaginario están.
- Cancelar un polo inestable con un cero. Sobre el papel el factor desaparece; en el sistema no. La cancelación nunca es exacta y el modo inestable permanece, solo que oculto a la función de transferencia entrada-salida.
- Olvidar el polo en el origen cuando el denominador no tiene término independiente. Entonces no hay ganancia estática: H(0) es infinita, y el sistema sigue una referencia constante con error nulo justamente porque integra.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calculan los polos de una función de transferencia?
Se iguala el denominador a cero y se resuelve. Para grado uno o dos bastan las fórmulas conocidas; más allá hace falta un método numérico. Esta calculadora busca todas las raíces a la vez con el método de Durand-Kerner, así que ninguna hereda el error de las halladas antes.
¿Cuándo es estable un sistema?
Cuando todos los polos tienen parte real estrictamente negativa, es decir, están en el semiplano izquierdo. Basta un polo a la derecha para que sea inestable, y un polo sobre el eje imaginario lo deja en el límite: ni converge ni diverge.
¿Qué diferencia hay entre un polo y un cero?
El polo es una raíz del denominador y corresponde a un modo propio, así que decide la estabilidad y la rapidez del transitorio. El cero es una raíz del numerador y no crea modos: cambia cuánto se excita cada modo, y puede alterar por completo la forma de la respuesta sin tocar su estabilidad.
¿Qué es un sistema de fase no mínima?
Uno con al menos un cero en el semiplano derecho. Sigue siendo estable si sus polos lo son, pero la respuesta al escalón arranca en sentido contrario antes de corregirse, y en lazo cerrado eso impone un límite de ancho de banda que ningún regulador puede esquivar.
¿Por qué los polos complejos vienen siempre en pares?
Porque los coeficientes del denominador son reales. Si a + bj anula un polinomio de coeficientes reales, también lo anula su conjugado a − bj. El par corresponde a un único modo oscilatorio: la parte real da el amortiguamiento y la imaginaria la frecuencia.
Cómo funciona este cálculo
H(s) = K·N(s)/D(s). Los ceros son las raíces de N(s) y los polos las de D(s). Estabilidad: el sistema es asintóticamente estable si y solo si Re(pᵢ) < 0 para todo polo; está en el límite si algún polo tiene Re = 0 y ninguno Re > 0; es inestable si algún polo tiene Re > 0. Ganancia estática: H(0) = K·N(0)/D(0), no definida cuando D(0) = 0, es decir, con polos en el origen. Grado relativo: grado de D menos grado de N; da la pendiente final del diagrama de Bode, −20·(grado relativo) dB por década. Un par complejo −σ ± jω_d tiene frecuencia natural ω_n = √(σ² + ω_d²) y amortiguamiento ζ = σ/ω_n. Las raíces se buscan con el método de Durand-Kerner, que refina todas las estimaciones a la vez contra el polinomio de partida en lugar de hallar una y deflactar; cada grupo de estimaciones coincidentes se pule después con el método de Newton adaptado a raíces múltiples, z ← z − m·p(z)/p′(z), porque cerca de una raíz de multiplicidad m ninguna iteración ordinaria supera eps^(1/m).