Física
Calculadora de polos e zeros
Informe os coeficientes do numerador e do denominador de H(s): você obtém os polos e os zeros com a sua multiplicidade, o mapa no plano complexo e o veredito de estabilidade, lido a partir do sinal da parte real dos polos.
O que os polos e os zeros dizem
Uma função de transferência H(s) = K·N(s)/D(s) descreve um sistema linear no domínio de Laplace. Os zeros são as raízes do numerador, onde a resposta se anula; os polos são as raízes do denominador, onde ela vai ao infinito. Os polos pesam mais que os zeros porque cada um é, por si só, um modo do sistema: um polo real em −a dá um transitório que decai como e^(−at), um par complexo conjugado dá uma oscilação amortecida.
A estabilidade depende de uma coisa só: o sinal da parte real dos polos. Se todos estão à esquerda do eixo imaginário, cada modo se extingue e o sistema é estável; se um só estiver à direita, esse modo cresce exponencialmente e domina todo o resto. Um polo exatamente sobre o eixo é o caso-limite — não diverge nem se acomoda, e é o que faz de um integrador um integrador e de um par puramente imaginário um oscilador.
Os zeros não decidem a estabilidade, mas mudam a forma da resposta. Um zero no semiplano direito torna o sistema de fase não mínima: a resposta ao degrau parte na direção oposta àquela em que vai terminar antes de virar, que é o que fazem o nível em um tubulão de caldeira e o arfagem de um avião. É um limite rígido à banda alcançável em malha fechada, e aparece no mapa antes de qualquer simulação.
Erros frequentes
- Ler a estabilidade pelo módulo dos polos em vez da parte real. Um polo em +5 e um em −5 têm o mesmo módulo e significados opostos: o que conta é de que lado do eixo imaginário eles estão.
- Cancelar um polo instável com um zero. No papel o fator desaparece; no sistema, não. O cancelamento nunca é exato, e o modo instável permanece — apenas escondido da função de transferência entrada-saída.
- Esquecer o polo na origem quando o denominador não tem termo constante. Aí não há ganho em regime propriamente dito: H(0) é infinito, e o sistema segue uma referência constante sem erro em regime justamente porque integra.
Perguntas frequentes
Como se encontram os polos de uma função de transferência?
Iguala-se o denominador a zero e resolve-se. Para um denominador de primeiro ou segundo grau bastam as fórmulas usuais; além disso é preciso um método numérico. Esta calculadora encontra todas as raízes de uma vez com o método de Durand–Kerner, então nenhuma raiz herda o erro das encontradas antes dela.
Quando um sistema é estável?
Quando todos os polos têm parte real estritamente negativa, ou seja, ficam no semiplano esquerdo. Um polo à direita torna o sistema instável, e um polo sobre o eixo imaginário o deixa no limite: nem converge nem diverge.
Qual a diferença entre um polo e um zero?
Um polo é uma raiz do denominador e corresponde a um modo do sistema, então decide a estabilidade e a rapidez com que o transitório decai. Um zero é uma raiz do numerador e não cria nenhum modo: muda quanto cada modo é excitado, e pode remodelar completamente a resposta sem mexer na sua estabilidade.
O que é um sistema de fase não mínima?
Um sistema com pelo menos um zero no semiplano direito. Continua estável se os seus polos forem, mas a resposta ao degrau primeiro vai na direção errada antes de se corrigir, e em malha fechada isso impõe à banda um limite que nenhum controlador consegue contornar.
Por que os polos complexos sempre aparecem em pares?
Porque os coeficientes do denominador são reais. Se a + bj é raiz de um polinômio com coeficientes reais, o seu conjugado a − bj também é. O par é um único modo oscilatório: a parte real dá o amortecimento, a parte imaginária a frequência.
Como funciona este cálculo
H(s) = K·N(s)/D(s). Os zeros são as raízes de N(s), os polos as de D(s). Estabilidade: o sistema é assintoticamente estável exatamente quando Re(pᵢ) < 0 para todo polo; marginal quando algum polo tem Re = 0 e nenhum tem Re > 0; instável quando algum polo tem Re > 0. Ganho em regime: H(0) = K·N(0)/D(0), não definido quando D(0) = 0, ou seja, com polos na origem. Grau relativo: grau de D menos grau de N; dá a inclinação final do diagrama de Bode, −20·(grau relativo) dB por década. Um par complexo −σ ± jω_d tem frequência natural ω_n = √(σ² + ω_d²) e amortecimento ζ = σ/ω_n. As raízes são encontradas pelo método de Durand–Kerner, que refina todas as estimativas juntas contra o polinômio original em vez de encontrar uma e deflacionar; cada grupo de estimativas coincidentes é depois polido com o método de Newton ajustado para raiz múltipla, z ← z − m·p(z)/p′(z), porque perto de uma raiz de multiplicidade m nenhuma iteração comum consegue fazer melhor que eps^(1/m).