Physique
Calculateur de pôles et zéros
Saisissez les coefficients du numérateur et du dénominateur de H(s) : vous obtenez les pôles et les zéros avec leur multiplicité, la carte dans le plan complexe et le verdict de stabilité, lu au signe de la partie réelle des pôles.
Ce que disent les pôles et les zéros
Une fonction de transfert H(s) = K·N(s)/D(s) décrit un système linéaire dans le domaine de Laplace. Les zéros sont les racines du numérateur, là où la réponse s'annule ; les pôles sont les racines du dénominateur, là où elle part à l'infini. Les pôles pèsent plus que les zéros parce que chacun correspond à un mode propre du système : un pôle réel en −a donne un transitoire décroissant en e^(−at), une paire complexe conjuguée une oscillation amortie.
La stabilité tient à une seule chose : le signe de la partie réelle des pôles. S'ils sont tous à gauche de l'axe imaginaire, chaque mode s'éteint et le système est stable ; s'il en est un seul à droite, ce mode croît exponentiellement et couvre tout le reste. Un pôle exactement sur l'axe est le cas limite : il ne diverge pas et ne se stabilise pas, et c'est ce qui fait d'un intégrateur un intégrateur et d'une paire imaginaire pure un oscillateur.
Les zéros ne décident pas de la stabilité, mais ils changent la forme de la réponse. Un zéro dans le demi-plan droit rend le système à déphasage non minimal : la réponse indicielle part dans le sens opposé à son arrivée avant de se retourner, ce que font le niveau d'un générateur de vapeur et l'assiette d'un avion. C'est une limite dure sur la bande passante en boucle fermée, et elle se voit sur la carte avant toute simulation.
Erreurs fréquentes
- Lire la stabilité sur le module des pôles plutôt que sur leur partie réelle. Un pôle en +5 et un en −5 ont le même module et des sens opposés : ce qui compte est de quel côté de l'axe imaginaire ils se trouvent.
- Compenser un pôle instable par un zéro. Sur le papier le facteur disparaît, dans le système non. La compensation n'est jamais exacte et le mode instable demeure, simplement caché à la fonction de transfert entrée-sortie.
- Oublier le pôle à l'origine quand le dénominateur n'a pas de terme constant. Il n'y a alors pas de gain statique : H(0) est infini, et le système suit une consigne constante sans erreur permanente justement parce qu'il intègre.
Questions fréquentes
Comment calculer les pôles d'une fonction de transfert ?
On annule le dénominateur et on résout l'équation obtenue. Aux degrés un et deux les formules connues suffisent ; au-delà il faut une méthode numérique. Ce calculateur cherche toutes les racines à la fois par la méthode de Durand-Kerner, de sorte qu'aucune n'hérite de l'erreur des précédentes.
Quand un système est-il stable ?
Quand tous les pôles ont une partie réelle strictement négative, c'est-à-dire se trouvent dans le demi-plan gauche. Un seul pôle à droite rend le système instable, et un pôle sur l'axe imaginaire le laisse à la limite : ni convergent ni divergent.
Quelle différence entre un pôle et un zéro ?
Le pôle est une racine du dénominateur et correspond à un mode propre : il décide donc de la stabilité et de la rapidité du transitoire. Le zéro est une racine du numérateur et ne crée aucun mode : il change l'intensité avec laquelle chacun est excité, et peut remodeler entièrement la réponse sans toucher à sa stabilité.
Qu'est-ce qu'un système à déphasage non minimal ?
Un système ayant au moins un zéro dans le demi-plan droit. Il reste stable si ses pôles le sont, mais la réponse indicielle part d'abord dans le mauvais sens, et en boucle fermée cela impose une limite de bande passante qu'aucun correcteur ne contourne.
Pourquoi les pôles complexes vont-ils toujours par paires ?
Parce que les coefficients du dénominateur sont réels. Si a + bj annule un polynôme à coefficients réels, son conjugué a − bj l'annule aussi. La paire correspond à un unique mode oscillant : la partie réelle donne l'amortissement, la partie imaginaire la pulsation.
Comment fonctionne ce calcul
H(s) = K·N(s)/D(s). Les zéros sont les racines de N(s), les pôles celles de D(s). Stabilité : le système est asymptotiquement stable si et seulement si Re(pᵢ) < 0 pour chaque pôle ; à la limite si un pôle a Re = 0 et aucun Re > 0 ; instable si un pôle a Re > 0. Gain statique : H(0) = K·N(0)/D(0), non défini lorsque D(0) = 0, c'est-à-dire en présence de pôles à l'origine. Degré relatif : degré de D moins degré de N ; il donne la pente finale du diagramme de Bode, −20·(degré relatif) dB par décade. Une paire complexe −σ ± jω_d a pour pulsation propre ω_n = √(σ² + ω_d²) et pour amortissement ζ = σ/ω_n. Les racines sont cherchées par la méthode de Durand-Kerner, qui affine toutes les estimations ensemble contre le polynôme de départ au lieu d'en trouver une et de déflater ; chaque groupe d'estimations confondues est ensuite affiné par la méthode de Newton adaptée aux racines multiples, z ← z − m·p(z)/p′(z), car près d'une racine de multiplicité m aucune itération ordinaire ne fait mieux que eps^(1/m).