Fisica
Calcolatrice di propagazione degli errori
Scrivi la formula, inserisci ogni grandezza con la sua incertezza e ottieni il risultato già arrotondato come va scritto nella relazione, con il contributo di ciascuna misura. Oppure incolla una serie di misure ripetute per averne la media e l'errore.
Da dove viene l'incertezza di un risultato
Ogni misura porta con sé un'incertezza, e ogni grandezza calcolata da misure la eredita. Se misuri la lunghezza L e il periodo T di un pendolo per ricavare g = 4π²L/T², l'incertezza su g dipende da quelle su L e T, e da quanto g è sensibile a ciascuna. Quella sensibilità è la derivata parziale: ∂g/∂T contiene un T³ al denominatore, ed è per questo che un piccolo errore sul periodo pesa il doppio di uno uguale, in percentuale, sulla lunghezza.
Le regole per combinare i contributi sono due. L'errore massimo li somma in valore assoluto, Δf = Σ|∂f/∂x|·Δx: è il caso peggiore, in cui tutti gli errori vanno nella stessa direzione, ed è quello da cui partono le scuole superiori. La somma in quadratura, σ_f = √Σ(∂f/∂x·σ)², vale per errori casuali e indipendenti, che in parte si compensano: è quella dei corsi universitari e dei laboratori. Dà sempre un valore più piccolo, e questa pagina le mostra entrambe.
Per una serie di misure ripetute della stessa grandezza, il valore migliore è la media e la sua incertezza è l'errore della media, σ/√n: la deviazione standard dice quanto oscilla una singola misura, divisa per √n dice quanto è incerta la media di n misure. Con poche misure si usa spesso la semidispersione massima, (max − min)/2, più grossolana ma che non richiede calcoli.
Errori frequenti
- Sommare le incertezze assolute di grandezze moltiplicate o divise: per prodotti e quozienti si combinano le incertezze relative, ed è ciò che fanno le derivate parziali.
- Dimenticare l'esponente: in T² l'incertezza relativa su T conta due volte, in √h conta la metà.
- Scrivere il risultato con tutte le cifre della calcolatrice: 9,8107 ± 0,0412 va scritto 9,81 ± 0,04. Le cifre oltre l'incertezza non sono informazione.
- Dare come incertezza della media la deviazione standard: quella è la dispersione di una singola misura. L'incertezza della media è σ/√n, più piccola quanto più misure si fanno.
Domande frequenti
Meglio l'errore massimo o la somma in quadratura?
Dipende da cosa chiede il corso. L'errore massimo è prudente e semplice, e si usa alle superiori. La somma in quadratura è quella corretta per errori casuali e indipendenti, ed è lo standard all'università e nella letteratura scientifica. Se gli errori non sono indipendenti, per esempio perché due grandezze sono misurate con lo stesso strumento starato, nessuna delle due basta da sola.
Come si arrotonda un risultato con la sua incertezza?
Prima l'incertezza, a una cifra significativa, o a due se la prima cifra è 1 (arrotondare 0,14 a 0,1 cambierebbe l'incertezza di quasi un terzo). Poi il valore, alla stessa posizione decimale dell'incertezza. Così 9,8107 ± 0,0412 diventa 9,81 ± 0,04 e 9,8107 ± 0,0147 diventa 9,811 ± 0,015.
Che cos'è la tabella dei contributi?
Mostra quanto ogni grandezza pesa sull'incertezza finale: la derivata parziale, il suo prodotto per l'incertezza e la quota della varianza totale. Serve a capire dove conviene migliorare la misura: nel pendolo di esempio il periodo vale circa l'80 %, quindi cronometrare dieci oscillazioni invece di una rende molto più di un metro più preciso.
Perché σ/√n e non solo σ?
Perché le due rispondono a domande diverse. σ è la dispersione delle misure: quanto si allontana, tipicamente, una misura dalla media. σ/√n è l'incertezza sulla media stessa, che diventa più precisa man mano che si accumulano misure. Con 100 misure la media è dieci volte più precisa di una singola misura.
Posso usare costanti nella formula?
Sì: π (o pi) ed e sono riconosciute, e i numeri si scrivono anche in notazione scientifica, per esempio 6.67e-11. Una costante misurata con una sua incertezza, come g, va invece trattata come una variabile, così la sua incertezza entra nel calcolo.
Come funziona questo calcolo
Per una grandezza f(x₁, …, xₙ) calcolata da misure xᵢ ± σᵢ: valore f nei valori misurati; incertezza in quadratura σ_f = √Σ(∂f/∂xᵢ·σᵢ)², per errori casuali e indipendenti; errore massimo Δf = Σ|∂f/∂xᵢ|·σᵢ. Le derivate parziali sono calcolate in forma simbolica, e numericamente con una differenza centrata quando la forma simbolica non è disponibile. Il peso di ciascuna grandezza è (∂f/∂xᵢ·σᵢ)²/σ_f². Per misure ripetute: media x̄ = Σxᵢ/n, deviazione standard campionaria s = √(Σ(xᵢ − x̄)²/(n − 1)), errore della media s/√n, semidispersione (max − min)/2. Arrotondamento: incertezza a una cifra significativa (due se la prima è 1), valore alla stessa cifra decimale.