Fizyka
Kalkulator propagacji niepewności
Wpisz wzór, podaj każdą wielkość z jej niepewnością i otrzymaj wynik zaokrąglony tak, jak zapisuje się go w sprawozdaniu, razem z udziałem każdego pomiaru. Albo wklej serię pomiarów powtarzanych, by dostać średnią i jej niepewność.
Skąd bierze się niepewność wyniku
Każdy pomiar ma niepewność, a każda wielkość obliczona z pomiarów ją dziedziczy. Jeśli mierzysz długość L i okres T wahadła, by wyznaczyć g = 4π²L/T², niepewność g zależy od niepewności L i T oraz od tego, jak czułe jest g na każdą z nich. Ta czułość to pochodna cząstkowa: w ∂g/∂T w mianowniku stoi T³ i dlatego mały błąd okresu waży procentowo dwa razy więcej niż taki sam błąd długości.
Są dwie reguły łączenia wkładów. Błąd maksymalny sumuje je co do wartości bezwzględnej, Δf = Σ|∂f/∂x|·Δx: to najgorszy przypadek, gdy wszystkie błędy działają w tę samą stronę, i od niego zaczyna się w szkole. Suma kwadratowa, σ_f = √Σ(∂f/∂x·σ)², dotyczy błędów przypadkowych i niezależnych, które częściowo się znoszą: to standard na studiach i w laboratoriach. Zawsze daje mniejszą wartość, a ta strona pokazuje obie.
Dla serii powtarzanych pomiarów tej samej wielkości najlepszą wartością jest średnia, a jej niepewnością σ/√n: odchylenie standardowe mówi, jak bardzo waha się pojedynczy pomiar, a podzielone przez √n mówi, jak niepewna jest średnia z n pomiarów. Przy niewielu pomiarach często używa się połowy rozstępu, (max − min)/2, mniej dokładnej, ale bez rachunków.
Częste błędy
- Dodawanie niepewności bezwzględnych wielkości, które się mnoży lub dzieli: w iloczynach i ilorazach łączą się niepewności względne, i to właśnie robią pochodne cząstkowe.
- Zapominanie o wykładniku: w T² niepewność względna T liczy się podwójnie, w √h w połowie.
- Zapisywanie wyniku ze wszystkimi cyframi z kalkulatora: 9,8107 ± 0,0412 zapisuje się jako 9,81 ± 0,04. Cyfry poza niepewnością nie niosą informacji.
- Podawanie odchylenia standardowego jako niepewności średniej: to rozrzut pojedynczego pomiaru. Niepewność średniej to σ/√n, tym mniejsza, im więcej pomiarów.
Najczęstsze pytania
Błąd maksymalny czy suma kwadratowa?
To zależy od wymagań kursu. Błąd maksymalny jest ostrożny i prosty, stosuje się go w szkole. Suma kwadratowa jest właściwa dla błędów przypadkowych i niezależnych i jest standardem na studiach i w literaturze naukowej. Jeśli błędy nie są niezależne, na przykład dwie wielkości zmierzono tym samym źle skalibrowanym przyrządem, żadna z reguł sama nie wystarczy.
Jak zaokrąglić wynik z jego niepewnością?
Najpierw niepewność, do jednej cyfry znaczącej albo do dwóch, jeśli pierwsza cyfra to 1 (zaokrąglenie 0,14 do 0,1 zmieniłoby niepewność o prawie jedną trzecią). Potem wartość, do tego samego miejsca po przecinku co niepewność. Tak 9,8107 ± 0,0412 staje się 9,81 ± 0,04, a 9,8107 ± 0,0147 staje się 9,811 ± 0,015.
Co pokazuje tabela udziałów?
Ile każda wielkość waży w niepewności końcowej: pochodną cząstkową, jej iloczyn z niepewnością i udział w całkowitej wariancji. Widać z niej, gdzie warto poprawić pomiar: w przykładowym wahadle okres odpowiada za około 80 %, więc mierzenie czasu dziesięciu wahnięć zamiast jednego daje znacznie więcej niż dokładniejsza miarka.
Dlaczego σ/√n, a nie po prostu σ?
Bo odpowiadają na różne pytania. σ to rozrzut pomiarów: jak daleko pojedynczy pomiar typowo odbiega od średniej. σ/√n to niepewność samej średniej, która staje się dokładniejsza w miarę gromadzenia pomiarów. Przy 100 pomiarach średnia jest dziesięć razy dokładniejsza niż pojedynczy pomiar.
Czy we wzorze można używać stałych?
Tak: π (lub pi) i e są rozpoznawane, a liczby można zapisywać w notacji naukowej, na przykład 6.67e-11. Stałą zmierzoną z własną niepewnością, jak g, lepiej wprowadzić jako zmienną, żeby jej niepewność weszła do obliczeń.
Jak działa to obliczenie
Dla wielkości f(x₁, …, xₙ) obliczonej z pomiarów xᵢ ± σᵢ: wartość to f w zmierzonych wartościach; niepewność złożona σ_f = √Σ(∂f/∂xᵢ·σᵢ)², dla błędów przypadkowych i niezależnych; błąd maksymalny Δf = Σ|∂f/∂xᵢ|·σᵢ. Pochodne cząstkowe oblicza się symbolicznie, a numerycznie ilorazem różnicowym centralnym, gdy postać symboliczna nie jest dostępna. Udział każdej wielkości to (∂f/∂xᵢ·σᵢ)²/σ_f². Dla pomiarów powtarzanych: średnia x̄ = Σxᵢ/n, odchylenie standardowe z próby s = √(Σ(xᵢ − x̄)²/(n − 1)), niepewność średniej s/√n, połowa rozstępu (max − min)/2. Zaokrąglanie: niepewność do jednej cyfry znaczącej (dwóch, jeśli pierwsza to 1), wartość do tego samego miejsca po przecinku.