Física
Calculadora de propagação de erros
Escreva a fórmula, informe cada grandeza com a sua incerteza e obtenha o resultado já arredondado como se escreve no relatório, com a contribuição de cada medida. Ou cole uma série de medidas repetidas para obter a média e o seu erro.
De onde vem a incerteza de um resultado
Toda medida traz uma incerteza, e toda grandeza calculada a partir de medidas a herda. Se você mede o comprimento L e o período T de um pêndulo para obter g = 4π²L/T², a incerteza de g depende das de L e T e de quão sensível g é a cada uma. Essa sensibilidade é a derivada parcial: ∂g/∂T tem um T³ no denominador, e é por isso que um pequeno erro no período pesa, em porcentagem, o dobro de um erro igual no comprimento.
Há duas regras para combinar as contribuições. O erro máximo as soma em valor absoluto, Δf = Σ|∂f/∂x|·Δx: é o pior caso, em que todos os erros vão na mesma direção, e é aquele pelo qual se começa no ensino médio. A soma em quadratura, σ_f = √Σ(∂f/∂x·σ)², vale para erros aleatórios e independentes, que em parte se compensam: é a da universidade e dos laboratórios. Ela sempre dá um valor menor, e esta página mostra as duas.
Para uma série de medidas repetidas da mesma grandeza, o melhor valor é a média e a sua incerteza é o erro da média, σ/√n: o desvio padrão diz quanto uma medida isolada oscila, e dividido por √n diz quão incerta é a média de n medidas. Com poucas medidas usa-se muitas vezes a semiamplitude, (máx − mín)/2, mais grosseira, mas sem contas.
Erros frequentes
- Somar as incertezas absolutas de grandezas que se multiplicam ou dividem: em produtos e quocientes combinam-se as incertezas relativas, que é o que as derivadas parciais fazem.
- Esquecer o expoente: em T² a incerteza relativa de T conta duas vezes, em √h conta a metade.
- Escrever o resultado com todos os algarismos da calculadora: 9,8107 ± 0,0412 se escreve 9,81 ± 0,04. Os algarismos além da incerteza não são informação.
- Dar o desvio padrão como incerteza da média: essa é a dispersão de uma medida isolada. A incerteza da média é σ/√n, menor quanto mais medidas se fazem.
Perguntas frequentes
Melhor o erro máximo ou a soma em quadratura?
Depende do que o curso pede. O erro máximo é prudente e simples, e se usa no ensino médio. A soma em quadratura é a correta para erros aleatórios e independentes, e é o padrão na universidade e na literatura científica. Se os erros não são independentes, por exemplo porque duas grandezas foram medidas com o mesmo instrumento descalibrado, nenhuma das duas basta sozinha.
Como se arredonda um resultado com a sua incerteza?
Primeiro a incerteza, com um algarismo significativo, ou dois se o primeiro algarismo for 1 (arredondar 0,14 para 0,1 mudaria a incerteza em quase um terço). Depois o valor, na mesma casa decimal da incerteza. Assim 9,8107 ± 0,0412 vira 9,81 ± 0,04 e 9,8107 ± 0,0147 vira 9,811 ± 0,015.
O que é a tabela de contribuições?
Ela mostra quanto cada grandeza pesa na incerteza final: a derivada parcial, o seu produto pela incerteza e a parte da variância total. Serve para ver onde vale a pena melhorar a medida: no pêndulo de exemplo o período responde por cerca de 80%, então cronometrar dez oscilações em vez de uma rende muito mais que uma régua mais precisa.
Por que σ/√n e não só σ?
Porque respondem a perguntas diferentes. σ é a dispersão das medidas: quanto uma medida isolada tipicamente se afasta da média. σ/√n é a incerteza da própria média, que fica mais precisa à medida que as medidas se acumulam. Com 100 medidas a média é dez vezes mais precisa que uma medida isolada.
Posso usar constantes na fórmula?
Sim: π (ou pi) e e são reconhecidos, e os números podem ser escritos em notação científica, por exemplo 6.67e-11. Uma constante medida com a sua própria incerteza, como g, deve ser informada como variável, para que a sua incerteza entre no cálculo.
Como funciona este cálculo
Para uma grandeza f(x₁, …, xₙ) calculada a partir de medidas xᵢ ± σᵢ: o valor é f nos valores medidos; a incerteza em quadratura é σ_f = √Σ(∂f/∂xᵢ·σᵢ)², para erros aleatórios e independentes; o erro máximo é Δf = Σ|∂f/∂xᵢ|·σᵢ. As derivadas parciais são calculadas de forma simbólica, e numericamente por uma diferença central quando a forma simbólica não está disponível. O peso de cada grandeza é (∂f/∂xᵢ·σᵢ)²/σ_f². Para medidas repetidas: média x̄ = Σxᵢ/n, desvio padrão amostral s = √(Σ(xᵢ − x̄)²/(n − 1)), erro da média s/√n, semiamplitude (máx − mín)/2. Arredondamento: incerteza com um algarismo significativo (dois se o primeiro for 1), valor na mesma casa decimal.