Physique
Calculateur de propagation des incertitudes
Saisissez la formule, entrez chaque grandeur avec son incertitude, et obtenez le résultat déjà arrondi comme il s'écrit dans un compte rendu, avec la contribution de chaque mesure. Ou collez une série de mesures répétées pour en obtenir la moyenne et son incertitude.
D'où vient l'incertitude d'un résultat
Toute mesure porte une incertitude, et toute grandeur calculée à partir de mesures en hérite. Si l'on mesure la longueur L et la période T d'un pendule pour obtenir g = 4π²L/T², l'incertitude sur g dépend de celles sur L et T, et de la sensibilité de g à chacune. Cette sensibilité est la dérivée partielle : ∂g/∂T a un T³ au dénominateur, et c'est pourquoi une petite erreur sur la période pèse, en pourcentage, deux fois plus qu'une erreur égale sur la longueur.
Deux règles permettent de combiner les contributions. L'erreur maximale les additionne en valeur absolue, Δf = Σ|∂f/∂x|·Δx : c'est le pire cas, où toutes les erreurs vont dans le même sens, et celui par lequel on commence au lycée. La somme quadratique, σ_f = √Σ(∂f/∂x·σ)², vaut pour des erreurs aléatoires et indépendantes, qui se compensent en partie : c'est celle de l'université et des laboratoires. Elle donne toujours une valeur plus petite, et cette page affiche les deux.
Pour une série de mesures répétées d'une même grandeur, la meilleure valeur est la moyenne et son incertitude est σ/√n : l'écart-type dit combien une mesure isolée fluctue, et divisé par √n il dit à quel point la moyenne de n mesures est incertaine. Avec peu de mesures, on utilise souvent la demi-étendue, (max − min)/2, plus grossière mais sans calcul.
Erreurs fréquentes
- Additionner les incertitudes absolues de grandeurs multipliées ou divisées : pour les produits et les quotients, ce sont les incertitudes relatives qui se combinent, et c'est ce que font les dérivées partielles.
- Oublier l'exposant : dans T², l'incertitude relative sur T compte double ; dans √h, elle compte pour moitié.
- Écrire le résultat avec tous les chiffres de la calculatrice : 9,8107 ± 0,0412 s'écrit 9,81 ± 0,04. Les chiffres au-delà de l'incertitude ne sont pas de l'information.
- Donner l'écart-type comme incertitude sur la moyenne : c'est la dispersion d'une mesure isolée. L'incertitude sur la moyenne est σ/√n, d'autant plus petite qu'on fait de mesures.
Questions fréquentes
Erreur maximale ou somme quadratique ?
Cela dépend de ce que demande le cours. L'erreur maximale est prudente et simple, et s'utilise au lycée. La somme quadratique est la bonne pour des erreurs aléatoires et indépendantes, et c'est la norme à l'université et dans la littérature scientifique. Si les erreurs ne sont pas indépendantes, par exemple parce que deux grandeurs ont été mesurées avec le même instrument mal étalonné, aucune des deux ne suffit seule.
Comment arrondir un résultat avec son incertitude ?
D'abord l'incertitude, à un chiffre significatif, ou deux si le premier chiffre est un 1 (arrondir 0,14 à 0,1 changerait l'incertitude de presque un tiers). Puis la valeur, à la même décimale que l'incertitude. Ainsi 9,8107 ± 0,0412 devient 9,81 ± 0,04 et 9,8107 ± 0,0147 devient 9,811 ± 0,015.
À quoi sert le tableau des contributions ?
Il montre le poids de chaque grandeur dans l'incertitude finale : la dérivée partielle, son produit par l'incertitude et sa part de la variance totale. On voit ainsi où il vaut la peine d'améliorer la mesure : dans l'exemple du pendule, la période représente environ 80 %, donc chronométrer dix oscillations au lieu d'une rapporte bien plus qu'une règle plus précise.
Pourquoi σ/√n et pas simplement σ ?
Parce qu'ils répondent à des questions différentes. σ est la dispersion des mesures : l'écart typique d'une mesure isolée à la moyenne. σ/√n est l'incertitude sur la moyenne elle-même, qui devient plus précise à mesure que les mesures s'accumulent. Avec 100 mesures, la moyenne est dix fois plus précise qu'une mesure isolée.
Puis-je utiliser des constantes dans la formule ?
Oui : π (ou pi) et e sont reconnus, et les nombres peuvent s'écrire en notation scientifique, par exemple 6.67e-11. Une constante mesurée avec sa propre incertitude, comme g, se saisit plutôt comme variable, pour que son incertitude entre dans le calcul.
Comment fonctionne ce calcul
Pour une grandeur f(x₁, …, xₙ) calculée à partir de mesures xᵢ ± σᵢ : la valeur est f aux valeurs mesurées ; l'incertitude en quadrature est σ_f = √Σ(∂f/∂xᵢ·σᵢ)², pour des erreurs aléatoires et indépendantes ; l'erreur maximale est Δf = Σ|∂f/∂xᵢ|·σᵢ. Les dérivées partielles sont calculées symboliquement, et numériquement par une différence centrée quand aucune forme symbolique n'est disponible. La part de chaque grandeur vaut (∂f/∂xᵢ·σᵢ)²/σ_f². Pour des mesures répétées : moyenne x̄ = Σxᵢ/n, écart-type expérimental s = √(Σ(xᵢ − x̄)²/(n − 1)), incertitude sur la moyenne s/√n, demi-étendue (max − min)/2. Arrondi : incertitude à un chiffre significatif (deux si le premier est un 1), valeur à la même décimale.